定理 \(n \times n\)の行列\(A\)の行列式は任意の\(k \in (1,2,\cdots,n)\)により以下のように表される。 $$\mathrm{det} (A) = \sum_{j=1}^n a_{k… 続きを読む »

定義1 正方行列より第\(i\)行第\(j\)列を除いた行列の行列式を\(M_{ij}\)とし以下で表される\(\tilde{a}_{ij}\)を余因子とよぶ。 $$\tilde{a}_{ij}=(-1)^{i+j}M_… 続きを読む »

定義 \(n \times n\)の行列\(A\)により以下のように表すことができる場合、\(A^{-1}\)を\(A\)の逆行列とよぶ。 $$A A^{-1} = A^{-1} A = I$$ ただし、\(I\)は\(… 続きを読む »

定義 以下のように行と列を入れ替えた行列を転置行列とよび、\(A^T\)のように表す。 下の図は対角を軸として反転するところのイメージです。 例 定理 \begin{align} &1.\ \ (A^{T})^T… 続きを読む »

定理 \(2\)つの行列の積の行列式は、それぞれの行列の行列式の積に等しい。 $$\mathrm{det}(AB)=\mathrm{det}(A)\mathrm{det}(B)$$ 証明1 以下のように\(A\)を基本行… 続きを読む »

定理1 行列\(A\)の\(2\)行を入れ替えた行列を\(A’\)とすると、 $$\mathrm{det} (A’)=-\mathrm{det} (A)$$ 列についても同様。 証明1 第\(i\… 続きを読む »

定理1 正則行列\(A\)のある行を\(c\)倍した行列を\(A’\)すると以下が成り立つ。 $$\mathrm{det}(A’)=c\mathrm(A)$$ 列についても同様。 証明 行列式の定… 続きを読む »

本ページでは\(E\)を基本行列、\(I\)を単位行列として表しています。 定義1 \(m \times n\)の行列に対する行基本変形は\(m \times m\)の基本行列を左から掛けることにより表すことができる。行… 続きを読む »

本ページでは行基本変形の定義、基本的な性質、それらに関連する定義などについて述べます。 定義1 以下\(3\)つの操作を行基本変形（elementary row operation）という。 \( 1\ \)2つの行を入… 続きを読む »

行列式の転置不変性 正方行列\(A\)に対し、 $$\mathrm{det}(A^T)=\mathrm{det}(A)$$ が成り立つ。 ※以下、\(E_1,E_2,\cdots ,E_n\)は単位行列ではなく基本行列で… 続きを読む »