基底の変換行列 \(B=\{\boldsymbol{v}_1,\ \boldsymbol{v}_2\}\)と\(B’=\{\boldsymbol{v}’_1,\ \boldsymbol{v}&#8… 続きを読む »

※本ページの「ベクトルが張る空間の基底」「斉次方程式の解空間の基底」では基底を求めていますが、線形代数 – 行空間・列空間・零空間の基底の求め方でも同じ目的で基底を求めています。ただし本ページとは異なる方法で求め方ている… 続きを読む »

基底ベクトル・方程式の求め方 以下の行列を例として行空間・列空間・零空間・左零空間の基底とそれぞれの空間を表す方程式を求めます。 \begin{pmatrix}1&2&2&1\\2&5&a… 続きを読む »

行空間・列空間 定義1 行（列）ベクトルが張る空間を行（列）空間とよぶ。 補足 ・行列\(A\)の列空間は\(\mathrm{R}(A)\)、行空間は\(\mathrm{C}(A)\)などと表します。 ・「行空間とは、可… 続きを読む »

定義 \(V\)を体\(\mathbb{K}\)上のベクトル空間、\(W \subseteq V,\ \ \boldsymbol{a},\boldsymbol{b} \in W ,\ \ \lambda \in \mat… 続きを読む »

定義 下記\(a.\)と\(b.\)の演算が定義され、\(1.\)から\(8.\)までの公理を満たす、空ではない集合\(V\)をベクトル空間（vector space）または線形空間（linear space）、その要素… 続きを読む »

定義 行列の線形独立な行ベクトルまたは列ベクトルの数を行列のランク（rank）または階数とよび、\(\mathrm{rank}(A)\)、\(\mathrm{rank}A\)のように表す。 線形独立な行ベクトルの数を行ラ… 続きを読む »

線形結合 定義1ベクトル\(\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\cdots \boldsymbol{v}_n\)とスカラー\(c_1,c_2,\cdots,c_n\)にて以下のように表し… 続きを読む »

LU分解は行列を下三角行列と上三角行列の積で表す方法でしたが、行・列の入れ替えを行わない場合と行う場合を区別する場合、後者をPLU分解（PLU decomposition/factorization）、LUP分解、部分ピ… 続きを読む »

LU分解とは？ LU分解（LU decomposition）とは行列を下三角行列と上三角行列に分解してそれらの積で表すことです。つまり下三角行列を\(L\)、上三角行列を\(U\)とすると、 $$A=LU$$ という形で… 続きを読む »