※以下注意ください。
・\(v\)は慣性系間の相対速度です。
・\(\gamma\)は物体の速度、\(\gamma_v\)は慣性系間の相対速度により定義されるローレンツ因子です。
3次元ベクトル
位置
$$\boldsymbol{x}=(x,y,z)$$
速度
$$\boldsymbol{u}=\frac { d \boldsymbol{r} } { dt }$$
運動量
$$\boldsymbol{p}= \gamma m\boldsymbol{u}$$
加速度
$$\boldsymbol{a} = \frac { d \boldsymbol{u} } { dt } = \frac { d^2 \boldsymbol{x} } { dt^2 }$$
力
$$\boldsymbol{f} = \frac { d \boldsymbol {p } } {dt} = \frac { d \left( \gamma m \boldsymbol{u} \right) } {dt}$$
4元ベクトル
位置
$$\boldsymbol{X}=(ct,x,y,z) $$
速度
$$\boldsymbol{U}=\frac { d \boldsymbol{X} } { d\tau } $$
運動量
$$\boldsymbol{P} = m \boldsymbol{U} = m \frac { d\boldsymbol{X} } {d\tau}$$
力
$$\boldsymbol{F} = \frac { d \boldsymbol {P} } {d\tau} = m \frac {d\boldsymbol {U}} { d\tau } = m \frac {d^2 \boldsymbol {X}} { d\tau^2 } $$
4元ベクトルを3次元ベクトルで表した場合
位置
$$\boldsymbol{X}=(ct,\boldsymbol{x}) $$
速度
$$\boldsymbol{U} = \gamma \left(c, \boldsymbol{u} \right)$$
運動量
$$\boldsymbol{P}=\left( \frac {E} {c}, \boldsymbol {p} \right)$$
加速度
$$\boldsymbol{A} = \left( \gamma^4 \frac { \boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{a} } { c }, \gamma^4 \frac { \left( \boldsymbol {a} \cdot \boldsymbol {u} \right) \boldsymbol {u} } {c^2} + \gamma ^2 \boldsymbol {a} \right)$$
力
$$\boldsymbol{F} =\gamma \left(\frac{ \boldsymbol{f} \cdot \boldsymbol{u} } {c}, \boldsymbol{f} \right) $$
3次元ベクトルの座標変換
位置
$$t’=\gamma_v \left(t-\frac{vx}{c^2} \right)$$
$$x’=\gamma_v (x-vt)$$
$$y’=y$$
$$z’=z$$
速度
$$u’_x = \frac {u_x – v } {1 – \frac {u_x v} {c^2} } $$
$$u’_y = \frac{u_y }{\gamma_v \left(1-\frac{u_x v}{c^2}\right)}$$
$$u’_z = \frac{u_z }{\gamma_v \left(1-\frac{u_x v}{c^2}\right)}$$
運動量
$$p’_x = \gamma_v \left( p_x – \frac {E v } {c^2} \right) $$
$$p’_y = p_y$$
$$p’_z = p_z$$
加速度
$$a’_x = \frac {a_x} {\gamma_v^3 \left( 1 – \frac { u_x v } { c^2 } \right)^3}$$
$$a’_y = \frac {a_y} {\gamma_v^2 \left( 1 – \frac { u_x v } { c^2 } \right)^2} + \frac {a_x \frac { u_y v } { c^2 }} {\gamma_v^2 \left( 1 – \frac { u_x v } { c^2 } \right)^3}$$
$$a’_z = \frac {a_z} {\gamma_v^2 \left( 1 – \frac { u_x v } { c^2 } \right)^2} + \frac {a_x \frac { u_z v } { c^2 }} {\gamma_v^2 \left( 1 – \frac { u_x v } { c^2 } \right)^3}$$
力
$$f’_x = f_x – \frac { \frac {v} {c^2} \left( f_y u_y + f_z u_z \right) } { 1 – \frac {u_x v} {c^2} }$$
$$f’_y = \frac { f_y } { \gamma_v \left( 1 – \frac {u_x v} {c^2} \right) }$$
$$f’_z = \frac { f_z } { \gamma_v \left( 1 – \frac {u_x v} {c^2} \right) }$$
4元ベクトルの座標変換
位置
$$X’_t= \gamma_v \left( X_t – \frac {X_x v} {c} \right) $$
$$X’_x = \gamma_v \left( X_x – \frac {X_t v} {c} \right) $$
$$X’_y = X_y $$
$$X’_z = X_z $$
速度
$$U’_t= \gamma_v \left( U_t – \frac {U_x v} {c} \right) $$
$$U’_x = \gamma_v \left( U_x – \frac {U_t v} {c} \right) $$
$$U’_y = U_y $$
$$U’_z = U_z $$
運動量
$$P’_t= \gamma_v \left( P_t – \frac {P_x v} {c} \right) $$
$$P’_x = \gamma_v \left( P_x – \frac {P_t v} {c} \right) $$
$$P’_y = P_y $$
$$P’_z = P_z $$
加速度
$$A’_t= \gamma_v \left( A_t – \frac {A_x v} {c} \right) $$
$$A’_x = \gamma_v \left( A_x – \frac {A_t v} {c} \right) $$
$$A’_y = A_y $$
$$A’_z = A_z $$
力
$$F’_t= \gamma_v \left( F_t – \frac {F_x v} {c} \right) $$
$$F’_x = \gamma_v \left( F_x – \frac {F_t v} {c} \right) $$
$$F’_y = F_y $$
$$F’_z = F’_z $$