特異値分解を求める方法、つまり\(A\)から\(U,\ \Sigma,\ V^T\)を求める方法はいくつか存在しますが、本ページでは固有値分解を使用した方法を述べます。 次の行列について考えてみましょう。 $$ A=\b… 続きを読む »

\(※\ \ \)本ページの記載内容に関し、以下注意ください。 ・\(A,\ U,\ V\)を実行列として述べます。複素行列の場合も同様の性質がありますが、それらについては転置行列を随伴行列に、直交行列をユニタリ行列に置… 続きを読む »

\(※\ \ \)本ページの記載内容に関し、以下注意ください。 ・\(A,\ U,\ V\)を実行列として述べます。複素行列の場合も同様の性質がありますが、それらについては転置行列を随伴行列に、直交行列をユニタリ行列に置… 続きを読む »

定義 正方行列\(A\)に対し\(D=P^{-1}AP\)となる\(P\)と対角行列\(D\)が存在するとき、\(A\)が対角化可能（diagonalizable）であるといい、この変換を対角化（diagonalizat… 続きを読む »

定理 定理 \(\lambda\)を正方行列\(A\)の固有値、\(P_A(\lambda)\)を固有方程式とすると、 $$P_A(A)=\large0$$ が成り立つ。 補足 ・固有多項式とは以下です。 $$\math… 続きを読む »

定理1 異なる固有値に属する固有ベクトルは線形独立である。 証明 数学的帰納法により、行列\(A\)の相異なる固有値\(\lambda_1,\ \lambda_2,\cdots,\lambda_k\)にそれぞれ属する固有… 続きを読む »

定理1 すべての複素正方行列は、これを\(A\)とすると、\(P^{-1}AP\)が三角行列となるユニタリ行列\(P\)が存在する。 補足 定理1は「\(A=PTP^{-1}\)と表すことができる三角行列\(T\)とユニ… 続きを読む »

定義 定義 \(A\)を\(n \times n\)の行列とする。 $$A\boldsymbol{x}=\lambda\boldsymbol{x},\ \boldsymbol{x} \neq \boldsymbol{0}… 続きを読む »

定義 線形独立であるベクトルが張る空間の（正規）直交基底を求める方法をグラム・シュミットの直交化法とよびます。 \(V\)を内積空間、\(\{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\cdot… 続きを読む »

定義 定義1 \(W_1,W_2\)をベクトル空間\(V\)の部分空間であるとする。全ての\(\boldsymbol{v} \in V\)が\(\boldsymbol{w}_1 \in W_1,\ \boldsymbol… 続きを読む »