線形代数 – 固有値・固有ベクトルの性質

証明

数学的帰納法により、行列\(A\)の相異なる固有値\(\lambda_1,\ \lambda_2,\cdots,\lambda_k\)にそれぞれ属する固有ベクトル\(\boldsymbol{v}_1,\ \boldsymbol{v}_2,\cdots,\boldsymbol{v}_k\)が線形独立であることを示す。

\(k=1\)のとき、\(\boldsymbol{v}_1\)は線形独立である。

\(k \ge 2\)のとき、\(\boldsymbol{v}_1,\cdots,\boldsymbol{v}_{k-1}\)が線形独立と仮定し、

$$c_1 \boldsymbol{v}_1+\cdots+c_{k-1} \boldsymbol{v}_{k-1}+c_k \boldsymbol{v}_k=\boldsymbol{0}\tag{1}$$

としたときの\(c_1,\cdots,\ c_{k-1},c_k\)が全て\(0\)であることがわかればよい。

\((1)\)の両辺に左から\(A\)を掛け、

$$c_1 A\boldsymbol{v}_1+\cdots+c_{k-1} A\boldsymbol{v}_{k-1}+c_k A\boldsymbol{v}_k=\boldsymbol{0}$$

固有値に置き換え、

$$c_1 \lambda_1\boldsymbol{v}_1+\cdots+c_{k-1} \lambda_{k-1}\boldsymbol{v}_{k-1}+c_k \lambda_k \boldsymbol{v}_k=\boldsymbol{0}\tag{2}$$

\((1)\)の両辺に\(\lambda_k\)を掛け、

$$c_1 \lambda_k\boldsymbol{v}_1+\cdots+c_{k-1} \lambda_{k-1}\boldsymbol{v}_{k-1}+c_k \lambda_k \boldsymbol{v}_k=\boldsymbol{0}\tag{3}$$

\((2)\)から\((3)\)を辺々引くと、

$$c_1 (\lambda_1-\lambda_k)\boldsymbol{v}_1+\cdots+c_{k-1} (\lambda_{k-1}- \lambda_k ) \boldsymbol{v}_{k-1}=\boldsymbol{0}$$

\(\boldsymbol{v}_1,\cdots \boldsymbol{v}_{k-1}\)は線形独立かつ\(\lambda_1 \neq \lambda_{k},\cdots,\lambda_{k-1}\neq \lambda_{k}\)であるので、

$$c_1=\cdots =c_{k-1}=0$$

これを\((1)\)に代入すると、

$$c_k \boldsymbol{v}_k=\boldsymbol{0}$$

\(\boldsymbol{v}_k \neq \boldsymbol{0}\)より、

$$c_k=0$$

したがって\(\boldsymbol{v}_1,\ \boldsymbol{v}_2,\cdots,\boldsymbol{v}_k\)は線形独立である。

■

証明

行列\(A\)の固有値のうちの\(1\)つを\(\lambda\)、それに属する固有ベクトルを\(\boldsymbol{x}\)とすると、

$$A\boldsymbol{x}=\lambda \boldsymbol{x}\tag{8}$$

両辺を転置し複素共役をとると、

$$ \boldsymbol{x}^* A^* =\overline{\lambda} \boldsymbol{x}^*$$

\(A\)が実対称行列のとき、\(A^*=A^T=A\)、\(A\)がエルミート行列行列のときも\(A^*=A\)であるので、

$$ \boldsymbol{x}^* A =\overline{\lambda} \boldsymbol{x}^*\tag{9}$$

\((8)\)の両辺に左から\(\boldsymbol{x}^*\)を掛けて、

$$\boldsymbol{x}^* A\boldsymbol{x}=\lambda \boldsymbol{x}^* \boldsymbol{x}\tag{10}$$

\((9)\)の両辺に右から\(\boldsymbol{x}\)を掛けて、

$$\boldsymbol{x}^* A\boldsymbol{x} =\overline{\lambda} \boldsymbol{x}^* \boldsymbol{x}\tag{11}$$

\((10)\)から\((11)\)を辺々引くと、

$$(\lambda-\overline{\lambda})\boldsymbol{x}^*\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$$

\(\boldsymbol{x}\neq\boldsymbol{0}\)より\(\lambda=\overline{\lambda}\)であるので\(\lambda\)は実数である。

■

補足

\(A^*\)は随伴行列を表し、\(\overline{A^T}\)と同じ意味です。

証明

実対称行列\(A\)の固有値のうち\(2\)個を\(\lambda_1,\ \lambda_2\)、それぞれに属する固有ベクトルを\(\boldsymbol{x}_1,\ \boldsymbol{x}_2\)とすると、

$$A\boldsymbol{x}_1=\lambda_1 \boldsymbol{x}_1\tag{4}$$

$$A\boldsymbol{x}_2=\lambda_2 \boldsymbol{x}_2\tag{5}$$

\((4)\)の両辺に\(\boldsymbol{x}_2^{\ T}\)を左から掛けると、

$$\boldsymbol{x}_2^{\ T} A\boldsymbol{x}_1=\lambda_1 \boldsymbol{x}_2^{\ T} \boldsymbol{x}_1\tag{6}$$

\((5)\)の両辺を転置し\(\boldsymbol{x}_1\)を右から掛け\(A=A^T\)を代入すると、

$$\boldsymbol{x}_2^{\ T} A \boldsymbol{x}_1=\lambda_2 \boldsymbol{x}_2^{\ T} \boldsymbol{x}_1\tag{7}$$

\((6)\)から\((7)\)を辺々引くと、

$$(\lambda_1-\lambda_2)\boldsymbol{x}_2^{\ T}\boldsymbol{x}_1 =\boldsymbol{0}$$

\(\lambda_1 \neq \lambda_2\)であるので、

$$\boldsymbol{x}_2^{\ T} \boldsymbol{x}_1=\boldsymbol{0}$$

したがって\(\boldsymbol{x}_1\)と\(\boldsymbol{x}_2\)は直交する。

■

補足

・複素対称行列の場合も同様に\(\boldsymbol{x}_2^{\ T} \boldsymbol{x}_1=\boldsymbol{0}\)となります。しかし複素ベクトルの場合、\(\boldsymbol{x}_2^{\ *} \boldsymbol{x}_1=\boldsymbol{0}\)となることが直交の条件なので、複素対称行列について同じことがいえるわけではありません。

・実対称行列ではなくても正規行列であれば、異なる固有値に属する固有ベクトルは直交しますが、ここでは証明を省略します。

証明

固有値と固有ベクトルの関係より、

$$A\boldsymbol{x}=\lambda \boldsymbol{x}\tag{12}$$

両辺を転置し複素共役をとると、

$$\boldsymbol{x}^* A^*=\overline{\lambda} \boldsymbol{x}^*\tag{13}$$

\((12)\)に\((13)\)を辺々左から掛けると、

$$\boldsymbol{x}^* A^*A\boldsymbol{x}=\overline{\lambda} \lambda \boldsymbol{x}^*\boldsymbol{x}$$

\(A^{*}A=I\)より、

$$\boldsymbol{x}^* \boldsymbol{x}=| \lambda |^2\boldsymbol{x}^*\boldsymbol{x}$$

したがって、

$$|\lambda|^2=1$$

であることより、\(\lambda\)の絶対値は\(1\)。

■

補足

・\(A\)が複素行列ではなかったとしても直交行列であれば\(\lambda\)の絶対値は\(1\)ですが実数とは限りません。例えば、

$$A=\begin{pmatrix}1/3&2/3&-2/3\\-2/3&2/3&1/3\\2/3&1/3&2/3\end{pmatrix}$$

の場合、固有値は

$$\lambda=1,\ \frac{1}{3}\pm\frac{2\sqrt{2}}{3}i$$

であり、いずれも絶対値は\(1\)ですが、複素数も存在します。

補足

この定理は対角行列についても成り立ちます。

証明

三角行列\(A\)の対角成分を\(\lambda_1,\ \lambda_2,\cdots,\lambda_n\)とすると、
\begin{align}
|A-\lambda I|&=\begin{vmatrix}
\lambda_1-\lambda&&&\large{*}\\
&\lambda_2-\lambda&&\\
&&\ddots&\\
\large{0}&&&\lambda_n-\lambda
\end{vmatrix}\\
&=(\lambda_1-\lambda)(\lambda_2-\lambda)\cdots (\lambda_n-\lambda)
\end{align}

より、固有値も\(\lambda_1,\ \lambda_2,\cdots,\lambda_n\)である。

■

証明

固有値と固有ベクトルの関係より、

$$A\boldsymbol{x}=\lambda \boldsymbol{x}$$

この式の両辺に左から\(\lambda^{-1}A^{-1}\)を掛けると、

$$\lambda^{-1}A^{-1}A\boldsymbol{x}=\lambda^{-1}\lambda A^{-1}\boldsymbol{x}$$

$$A^{-1}\boldsymbol{x}=\lambda^{-1}\boldsymbol{x}$$

したがって\(\lambda^{-1}\)は\(A^{-1}\)の固有値で、\(\boldsymbol{x}\)は\(\lambda^{-1}\)に属する固有ベクトルである。

■

証明

固有値と固有ベクトルの関係より、

$$A\boldsymbol{x}=\lambda \boldsymbol{x}$$

この式の両辺に左から\( A\)を掛けると、

$$ A^2 \boldsymbol{x}=\lambda A \boldsymbol{x}=\lambda^2 \boldsymbol{x}$$

同様に繰り返し掛けていくことにより、

$$ A^n \boldsymbol{x}=\lambda^n \boldsymbol{x}$$

したがって\(\lambda^n\)は\(A^n\)の固有値で、\(\boldsymbol{x}\)は\(\lambda^n\)に属する固有ベクトルである。

■

補足1

ある正則行列\(P\)により、

$$B=P^{-1}AP$$

と表されるとき、\(B\)と\(A\)は相似である（similar）といいます。

証明

\(B=P^{-1}AP\)、\(\lambda\)を\(A\)の固有値の\(1\)つ、\(\boldsymbol{x}\)を\(\lambda\)に属する固有ベクトルとすると、

\begin{align}
\mathrm{det}(B-\lambda I)&=\mathrm{det}(P^{-1}AP-\lambda I)\\
&=\mathrm{det}(P^{-1}AP-\lambda P^{-1}IP)\\
&=\mathrm{det}(P^{-1}(A-\lambda I)P)\\
&=\mathrm{det}(P^{-1})\mathrm{det}(A-\lambda I)\mathrm{det}(P)\\
&=\mathrm{det}(A-\lambda I)\\
\end{align}

より、\(\lambda\)は\(B\)の固有値でもある。

■

証明

$$A\boldsymbol{x}=\lambda \boldsymbol{x}$$

の関係にあるとき、

$$\boldsymbol{x}=P\boldsymbol{y}$$

とすると、

$$AP\boldsymbol{y}=\lambda P\boldsymbol{y}$$

左から\(P^{-1}\)を掛けて、

$$P^{-1}AP\boldsymbol{y}=\lambda P^{-1}P \boldsymbol{y}=\lambda \boldsymbol{y}$$

より、\(\boldsymbol{y}=P^{-1}\boldsymbol{x}\)は\(B\)の固有値\(\lambda\)に属する固有ベクトルである。

■

証明

行列\(A\)の固有値を\(\lambda_1,\ \lambda_2,\cdots,\lambda_n\)とすると固有多項式は、

\begin{align}
|A-\lambda I|=(\lambda_1-\lambda)(\lambda_2-\lambda)\cdots(\lambda_n-\lambda)\ \ ※1
\end{align}

これを展開した多項式の\(\lambda^{n-1}\)の係数は、

$$(-1)^{n-1}(\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n)\ \ ※2$$

一方、行列の成分を以下のように定義すると、

$$A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\
a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}
\end{pmatrix}$$

固有多項式は、

$$|A-\lambda I|=\begin{vmatrix}a_{11}-\lambda&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\
a_{21}&a_{22}-\lambda&\cdots&a_{2n}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}-\lambda
\end{vmatrix}$$

この式に\(\lambda^{n-1}\)の項が現れるのは全て対角成分が選ばれた場合の積の中のみである。\(※3\)

対角成分の積は、

$$(a_{11}-\lambda)(a_{22}-\lambda)\cdots(a_{nn}-\lambda)$$

\(\lambda^{n-1}\)の係数は、

$$(-1)^{n-1}(a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn})$$

\(a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn}\)は\(A\)のトレースであるので、\(A\)の固有値の和とトレースは一致する。

■

補足

\(※1\)

後述補題1を参照ください。

\(※2\)

左から順に展開すると、

\begin{align}
&|A-\lambda I|\\
&=(\lambda_1-\lambda)(\lambda_2-\lambda)(\lambda_3-\lambda)\cdots(\lambda_n-\lambda)\\
&=(-1)^2\{\lambda^2-(\lambda_1+\lambda_2)\lambda+\cdots\}(\lambda_3-\lambda)\cdots(\lambda_n-\lambda)\\
&=(-1)^3\{\lambda^3-(\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3)\lambda^2+\cdots\}\cdots(\lambda_n-\lambda)\\
&=(-1)^n\{\lambda^n-(\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n)\lambda^{n-1}+\cdots\}
\end{align}

より、\(\lambda^{n-1}\)の係数は

$$(-1)^{n-1}(\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n)$$

\(※3\)

\(4\times 4\)行列を例にします。

行列式の定義は、

$$\mathrm{det}(A)=\sum_{s\in S} \mathrm{sgn}(\sigma)a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}a_{3\sigma(3)}a_{4\sigma(4)}$$

でした。\(\sigma\)は置換、\(\mathrm{sgn}\)は\(\sigma\)によって決まる符号です。

その中には\(\sigma(1)=1,\ \sigma(2)=2,\ \sigma(3)=3,\ \sigma(4)=4\)の場合が含まれますが、これらは全て対角成分です。

その積の多項式の次数は\(4\)で、\(\lambda^3\)の項があります。

しかし\(\sigma(1)=2,\ \sigma(2)=1,\ \sigma(3)=3,\ \sigma(4)=4\)の場合はその積は次数が\(2\)で、\(\lambda^3\)の項はありません。

他のどのような組み合わせでも次数が\(3\)以上になることはありません。

\(n \times n\)行列でも同様で、全て対角成分を選んで掛け合わせた場合以外は次数が\(n-1\)以上になることはありません。

証明

行列\(A\)の固有値を\(\lambda_1,\ \lambda_2,\cdots,\lambda_n\)とすると固有多項式は、

\begin{align}
\mathrm{det}(A-\lambda I)=(\lambda_1-\lambda)(\lambda_2-\lambda)\cdots(\lambda_n-\lambda)
\end{align}

\(\lambda=0\)のとき、

\begin{align}
\mathrm{det}(A)=\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n
\end{align}

■

固有方程式のある解が\(m\)重解であった場合、その固有値の代数的重複度（algebraic multiplicity）は\(m\)であるといいます。

全ての固有値の代数的重複度が\(1\)であった場合、

$$\lambda = \lambda_1\ \ \lambda = \lambda_2\ \cdots\ \ \lambda = \lambda_n $$

を移項し辺々掛け合わせれば、

$$(\lambda_1-\lambda)(\lambda_2-\lambda)\cdots (\lambda_n-\lambda)=0$$

となり、これが固有方程式、左辺が固有多項式です。

\(\lambda_1,\ \lambda_2,\cdots,\lambda_k\)のそれぞれの代数的重複度が\(m_1,\ m_2,\cdots,m_k\)であるとすると、

$$(\lambda_1-\lambda)^{m_1}(\lambda_2-\lambda)^{m_2}\cdots (\lambda_k-\lambda)^{m_k}=0$$

となります。