線形代数 – 固有値・固有ベクトルの定義

定義

$A$を$n \times n$の行列とする。

$$A\boldsymbol{x}=\lambda\boldsymbol{x},\ \boldsymbol{x} \neq \boldsymbol{0}$$

を満たすとき、$\lambda$を固有値（eigenvalue）、$\boldsymbol{x}$を固有ベクトル（eigenvector）とよぶ。

また、この式を満たす$\boldsymbol{x}$の集合を固有空間(eigenspace）とよぶ。

補足

$A$が以下であるとします。

$$A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$$

以下は$\boldsymbol{x}$が円を描くよう動いた場合を図にしたものです。

緑色のベクトルが$\boldsymbol{x}$、青色のベクトルが$A\boldsymbol{x}$です。

$1$周する間に一時的に止まっている瞬間がありますが、この時の青色のベクトルと緑色のベクトルの比が固有値、緑色が固有ベクトルを示しています。

※$\boldsymbol{x}$が円を描くように動くのは説明のためであって、実際にはこの平面上に自由にとることができます。また、$4$回止まっていますが、正反対の向きであるベクトルは同一とみなされるため、この場合の存在する固有ベクトルは$2$個です。この個数も行列によって変わります。

固有値の求め方

定義の右辺の$\lambda \boldsymbol{x}$は単位行列を用いて$\lambda I \boldsymbol{x}$と表すことができます。これを代入して移項すると、

$$(A-\lambda I)\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$$

$A-\lambda I$の列ベクトルを左から順に$\boldsymbol{v}_1,\ \boldsymbol{v}_2,\cdots, \boldsymbol{v}_n$、$\boldsymbol{x}$の成分を$x_1,\ x_2,\cdots,x_n$として上の式を表すと、

$$\begin{pmatrix}
\boldsymbol{v}_1&\boldsymbol{v}_2&\cdots&\boldsymbol{v}_n
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\ \vdots \\x_n\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}0\\0\\ \vdots \\0\end{pmatrix}$$

左辺は$x_1,\ x_2,\cdots,x_n$を係数とする線形結合です。固有ベクトルの定義より$\boldsymbol{x}\neq \boldsymbol{0}$なので$\boldsymbol{v}_1,\ \boldsymbol{v}_2,\cdots, \boldsymbol{v}_n$は線形従属でなければなりません。

したがって、

$$\mathrm{det}(A-\lambda I)=0$$

が成り立つ必要があります。$A-\lambda I$を成分で表示すると、

$$\begin{vmatrix}
a_{11}-\lambda&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\
a_{21}&a_{22}-\lambda&\cdots&a_{2n}\\
\vdots& &\ddots&\vdots\\
a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}-\lambda
\end{vmatrix}
=0$$

となることからもわかるように、$\lambda$を求めるためには$n$次の方程式を解く必要があります（行列式の定義）。

この方程式を固有方程式（characteristic equation）または特性方程式とよびます。

また、左辺を固有多項式（characteristic polynomial）または特性多項式よびます。$\lambda I -A$と定義する場合もあります。

$n$次方程式なので、成り立つ$\lambda$は$1$つとは限らず（最大$n$）、重解や複素数解となる場合もあります。

固有ベクトルの求め方

得られた固有値より固有ベクトルを求めます。前述の通り一般に固有値は複数ありますが、その場合はそれぞれの固有値に属する固有ベクトルが存在します。

固有値の一つが$\lambda_1$であったとします。

$(A – \lambda I)\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$に代入すると、

$$\begin{pmatrix}
a_{11}-\lambda_1&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\
a_{21}&a_{22}-\lambda_1&\cdots&a_{2n}\\
\vdots& &\ddots&\vdots\\
a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}-\lambda_1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\ \vdots \\x_n\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}0\\0\\ \vdots \\0\end{pmatrix}$$

この連立方程式を解けば$\boldsymbol{v}_1,\ \boldsymbol{v}_2,\cdots, \boldsymbol{v}_n$が求まります。

この行列の列ベクトルは線形独立ではないため$x_1,\ x_2,\cdots,x_n$は一意には決まりません。そこで係数を用いて線形結合とするか、基底を固有ベクトルとします。

同様に、$\lambda_2$などの解についても連立方程式を解き固有ベクトルを求めます。

※このように、一般には連立方程式を解く必要があります。

しかし、$A-\lambda I$の行列式は$0$でなければならないので$2\times 2$行列の場合、$2$つの行ベクトルは必ず線形従属です。したがって$\boldsymbol{x}$はどちらの行ベクトルより求めても同じです。

つまり、$2 \times 2$行列の場合は連立方程式を解く必要はなく、どちらかの式より解が得られます。

補足

以下、注意ください。

・固有値・固有ベクトルは正方行列にのみ定義される。

・固有ベクトルは$\boldsymbol{0}$以外でなければならない。

・固有値は$0$の場合もある。

・固有値・固有ベクトルは$1$組だけとは限らない。

・実行列であっても固有値は実数とは限らないし固有ベクトルも実ベクトルとは限らない。

・明らかな場合を除き、固有値を求める方程式、固有ベクトルを求める方程式それぞれを解く必要がある。

・固有ベクトルは一意に決まるわけではない。単一のベクトルが固有ベクトルとして表されていた場合は固有空間の要素という意味である。

例

以下の固有値・固有ベクトルを求めます。

※ここでは固有ベクトルは媒介変数を係数とした線形結合として表しています。

例1

$$A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$$

1. $A-\lambda I $を求める

$$\begin{pmatrix}2-\lambda&1\\1&2-\lambda\end{pmatrix}$$

2. $\lambda$について解く

\begin{align}
(2-\lambda)(2-\lambda)-1\times1=\lambda ^2 -4\lambda +3\\
=(\lambda-1)(\lambda-3)=0
\end{align}

$$\lambda = 1,\ 3$$

3. $\lambda=1$とし$\boldsymbol{x}$について解く

3.1 $(A-\lambda I)\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$に$\lambda=1$を代入する

$$\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$$

3.2 媒介変数により$x_1,\ x_2$を表す

$\ x_2=t$とすると、

$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=t\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}$$

4. $\lambda=3$とし$\boldsymbol{x}$について解く

4.1 $(A-\lambda I)\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$に$\lambda=3$を代入する

$$\begin{pmatrix}-1&1\\1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$$

4.2 媒介変数により$x_1,\ x_2$を表す

$\ x_2=t$とすると、

$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=t\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$$

補足

$2$組の実数の固有値・固有ベクトルが得られる例です。

例2

$$A=\begin{pmatrix} 2&1\\-1&4\end{pmatrix}$$

1. $A-\lambda I$を求める

$$\begin{pmatrix}2-\lambda&1\\ｰ1&4-\lambda\end{pmatrix}$$

2. $\lambda$について解く

$$
(2-\lambda)(4-\lambda)-1\times(-1)=\lambda ^2 +6\lambda +9\\
=(\lambda-3)^2=0$$

$$\lambda = 3$$

3. $\lambda=3$とし$\boldsymbol{x}$について解く

3.1 $(A-\lambda I)\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$に$\lambda=3$を代入する

$$\begin{pmatrix}-1&1\\-1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$$

3.2 媒介変数により$x_1,\ x_2$を表す

$\ x_2=t$とすると、

$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=t\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$$

補足

固有方程式は$2$次ですが重解であるため固有値・固有ベクトルは$1$組だけです。

例3

$$A=\begin{pmatrix} 3&-2\\4&-1\end{pmatrix}$$

1. $A-\lambda I$を求める

$$\begin{pmatrix}3-\lambda&-2\\4&-1-\lambda\end{pmatrix}$$

2. $\lambda$について解く

$$(3-\lambda)(-1-\lambda)-(-2)\times 4=\lambda ^2 -2\lambda +5\\
=\{\lambda-(1+2i)\}\{\lambda-(1-2i)\}$$

$$\lambda = 1\pm 2i$$

3. $\lambda=1+2i$とし$\boldsymbol{x}$について解く

3.1 $(A-\lambda I)\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$に$\lambda=1+2i$を代入する

$$\begin{pmatrix}2-2i&-2\\4&-2-2i\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$$

3.2 媒介変数により$x_1,\ x_2$を表す

$\ x_2=2t$とすると（$x_2=t$とすると分数になるので$2t$とします）、

$$\boldsymbol{x}=t\begin{pmatrix}1+i\\2\end{pmatrix}$$

4. $\lambda=1-2i$とし$\boldsymbol{x}$について解く

4.1 $(A-\lambda I)\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$に$\lambda=1-2i$を代入する

$$\begin{pmatrix}2+2i&-2\\4&-2+2i\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$$

4.2 媒介変数により$x_1,\ x_2$を表す

$\ x_2=2t$とすると、

$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=t\begin{pmatrix}1-i\\2\end{pmatrix}$$

補足

固有方程式に重解はありませんが、複素数となる例です。

例4

$$ A=\begin{pmatrix} 3&2&2\\ 1&4&1\\ -2&-4&-1\\ \end{pmatrix}\\ $$

1. $A-\lambda I$を求める

$$\begin{pmatrix}
3-\lambda&2&2\\
1&4-\lambda&1\\
-2&-4&-1-\lambda\\
\end{pmatrix}
$$

2. $\lambda$について解く

サラスの公式により、

\begin{align}
\phantom{-}&(3- \lambda )(4- \lambda )(-1- \lambda )+2 \times 1 \times (-2)\\
+&2 \times 1 \times (-4)-2 \times (4- \lambda ) \times (-2)\\
-&2 \times 1 \times (-1- \lambda )-(3- \lambda ) \times 1 \times (-4)\\
=-& \lambda ^3+6 \lambda ^2-5 \lambda -12-4\\
-&8-4 \lambda +16\\
+&2 \lambda +2-4 \lambda +12\\
=-& \lambda ^3+6 \lambda ^2-11 \lambda +6\\
=-&(\lambda-1)(\lambda-2)(\lambda-3)=0
\end{align}

$$\lambda=1,\ 2,\ 3$$

3. $\lambda=1$とし$\boldsymbol{x}$について解く

3.1 $(A-\lambda I)\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$に$\lambda=1$を代入する

$$\begin{pmatrix}
2&2&2\\
1&3&1\\
-2&-4&-2\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1\\x_2\\x_3
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$$

3.2 行基本変形により係数行列を変形する

$\begin{align} &\begin{pmatrix} 2&2&2\\ 1&3&1\\ -2&-4&-2\\ \end{pmatrix}\\ \begin{matrix} $\xrightarrow{\substack{\scriptsize -1/2 R_1+R_2\rightarrow R_2\\R_1+R_3 \rightarrow R_3}} $\\ \ \end{matrix} &\begin{pmatrix} 2&2&2\\ 0&2&0\\ 0&-2&0\\ \end{pmatrix}\\ \begin{matrix} $\xrightarrow{\substack{\scriptsize R_2+R_3\rightarrow R_3}} $\\ \ \end{matrix} &\begin{pmatrix} 2&2&2\\ 0&2&0\\ 0&0&0\\ \end{pmatrix}\\ \begin{matrix} $\xrightarrow{\substack{\scriptsize 1/2 R_1\rightarrow R_1\\1/2R_2 \rightarrow R_2}} $\\ \ \end{matrix} &\begin{pmatrix} 1&1&1\\ 0&1&0\\ 0&0&0\\ \end{pmatrix}\\ \end{align}$

3.3 媒介変数により$x_1,\ x_2,\ x_3$を表す

$\ x_3=t$とすると、

$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=t\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}$$

4. $\lambda=2$とし$\boldsymbol{x}$について解く

4.1 $(A-\lambda I)\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$に$\lambda=2$を代入する

$$\begin{pmatrix}
1&2&2\\
1&2&1\\
-2&-4&-3\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1\\x_2\\x_3
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$$

4.2 行基本変形により係数行列を変形する

$\begin{align} &\begin{pmatrix} 1&2&2\\ 1&2&1\\ -2&-4&-3\\ \end{pmatrix}\\ \begin{matrix} $\xrightarrow{\substack{\scriptsize - R_1+R_2\rightarrow R_2\\2R_1+R_3 \rightarrow R_3}} $\\ \ \end{matrix} &\begin{pmatrix} 1&2&2\\ 0&0&-1\\ 0&0&1\\ \end{pmatrix}\\ \begin{matrix} $\xrightarrow{\substack{\scriptsize R_2+R_3\rightarrow R_3\\-R_2 \rightarrow R_2}} $\\ \ \end{matrix} &\begin{pmatrix} 1&2&2\\ 0&0&1\\ 0&0&0\\ \end{pmatrix}\\ \end{align}$

4.3 媒介変数により$x_1,\ x_2,\ x_3$を表す

$\ x_2=t$とすると、

$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=t\begin{pmatrix}-2\\1\\0\end{pmatrix}$$

5. $\lambda=3$とし$\boldsymbol{x}$について解く

5.1 $(A-\lambda I)\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$に$\lambda=2$を代入する

$$\begin{pmatrix}
0&2&2\\
1&1&1\\
-2&-4&-4\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1\\x_2\\x_3
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$$

5.2 行基本変形により係数行列を変形する

$\begin{align} &\begin{pmatrix} 0&2&2\\ 1&1&1\\ -2&-4&-4\\ \end{pmatrix}\\ \begin{matrix} $\xrightarrow{\substack{\scriptsize 2 R_2+R_3\rightarrow R_3}} $\\ \ \end{matrix} &\begin{pmatrix} 0&2&2\\ 1&1&1\\ 0&-2&-2\\ \end{pmatrix}\\ \begin{matrix} $\xrightarrow{\substack{\scriptsize R_1+R_3\rightarrow R_3}} $\\ \ \end{matrix} &\begin{pmatrix} 0&2&2\\ 1&1&1\\ 0&0&0\\ \end{pmatrix}\\ \begin{matrix} $\xrightarrow{\substack{\scriptsize 1/2 R_1\rightarrow R_1}} $\\ \ \end{matrix} &\begin{pmatrix} 0&1&1\\ 1&1&1\\ 0&0&0\\ \end{pmatrix}\\ \end{align}$

5.3 媒介変数により$x_1,\ x_2,\ x_3$を表す

$\ x_3=t$とすると、

$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=t\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}$$

補足

・$3\times 3$行列で固有方程式に重解がない例です。

・$3 \times 3$行列の場合、一般には$\boldsymbol{x}$を求めるために連立方程式を解く必要がありますが、ここでは係数行列の行基本変形により線形独立な行ベクトルを残し計算しました。