線形代数 – 線形写像

定義

補足

・定義の\(2\)つの条件を以下のように\(1\)つにすることもできます。

$$f(\lambda \boldsymbol{x}+\mu \boldsymbol{y})=\lambda f(\boldsymbol{x}) + \mu f(\boldsymbol{y})$$

・\(f(x)=A\boldsymbol{x}\)と表される場合、\(A\)を表現行列とよびます。

・\(f:V\rightarrow V\)を特に線形変換とよぶことがあります。

・ベクトル空間\(V\)から\(W\)への線形写像により\(V\)の零ベクトルは\(W\)の零ベクトルに対応します。つまり、線形写像を\(f:V \rightarrow W\)、零ベクトルをそれぞれ\(\boldsymbol{0}_V,\ \boldsymbol{0}_W\)とすると、\(\boldsymbol{0}_V \mapsto \boldsymbol{0}_W\)です。

線形写像の例

1.  \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)を\(f(x)=ax\)で定義した場合

\begin{align}
f(x_1+x_2)&= a(x_1+x_2)\\&=ax_1+ax_2\\&=f(x_1)+f(x_2)\\ \\
f(\lambda x_1)&=a\lambda x_1 \\&= \lambda f(x_1)
\end{align}

より\(f\)は線形写像です。

2.  \(\boldsymbol{x}=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\)とし、\(f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2\)を\(f(\boldsymbol{x})=\begin{pmatrix}ax+by\\cx+dy\end{pmatrix}\)で定義した場合、

$$\boldsymbol{x}_1=\begin{pmatrix}x_1\\y_1\end{pmatrix},\ \boldsymbol{x}_2=\begin{pmatrix}x_2\\y_2\end{pmatrix}$$

とすると、

\begin{align}
f(\boldsymbol{x}_1+\boldsymbol{x}_2)&= \begin{pmatrix}a(x_1+x_2)+b(y_1+y_2)\\c(x_1+x_2)+d(y_1+y_2)\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}ax_1+by_1\\cx_1+dy_1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}ax_2+by_2\\cx_2+dy_2\end{pmatrix}\\
&=f(\boldsymbol{x}_1)+f(\boldsymbol{x}_2)\\ \\
f(\lambda \boldsymbol{x}_1)&=\begin{pmatrix}\lambda(ax_1+by_1)\\ \lambda(cx_1+dy_1)\end{pmatrix}\\
&=\lambda \begin{pmatrix}ax_1+by_1\\cx_1+dy_1\end{pmatrix}\\
&=\lambda f(\boldsymbol{x}_1)
\end{align}

より\(f\)は線形写像です。

3.  \(A\)を\(m \times n\)の行列、\(\boldsymbol{x}\)を次元\(n\)のベクトルとし、\(f:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}^m\)※を\(f(\boldsymbol{x})= A \boldsymbol{x}\)で定義した場合、

\begin{align}
f(\boldsymbol{x}_1+\boldsymbol{x}_2)&= A(\boldsymbol{x}_1+\boldsymbol{x}_2)\\
&=A\boldsymbol{x}_1+A\boldsymbol{x}_2\\
&=f(\boldsymbol{x}_1)+f(\boldsymbol{x}_2)\\ \\
f(\lambda \boldsymbol{x}_1)&=A(\lambda \boldsymbol{x}_1)\\
&=\lambda A \boldsymbol{x}_1\\
&=\lambda f(\boldsymbol{x}_1)
\end{align}

より\(f\)は線形写像です。

※\(\boldsymbol{x}\)の次元は\(n\)、\(A\boldsymbol{x}\)の次元は\(m\)なので、\(\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^n,\ A\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^m\)です。

4.  \(V\)を連続微分可能な実関数全体の集合、\(W\)を実連続関数全体の集合とし、\(T:V\rightarrow W\)を\(T(f)=f’\)で定義した場合、

\begin{align}
T(f+g)&=(f+g)’\\&=f’+g’\\
&=T(f)+T(g)\\ \\
T(\lambda f)&=(\lambda f)’\\&=\lambda f’\\&=\lambda T(f)
\end{align}

より\(T\)は線形写像です。

5.  \(V,\ W\)を区間\([a,b]\)において連続な実関数全体の集合とし、\(T:V\rightarrow W\)を\(T(f)=\int_a^b f(x)dx\)で定義した場合、

\begin{align}
T(f+g)&=\int_a^b(f+g)(x)dx\\&=\int_a^b f(x) dx+\int_a^b g(x) dx\\
&=T(f)+T(g)\\ \\
T(\lambda f)&=\int_a^b \lambda f(x) dx \\&=\lambda \int_a^b f(x) dx \\&=\lambda T(f)
\end{align}

より\(T\)は線形写像です。

線形写像ではない例

6.  \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)を\(f(x)=ax+b,\ b\neq 0\)で定義した場合、

\begin{align}
f(x_1+x_2)&= a(x_1+x_2)+b\\&=ax_1+b+ ax_2\\&\neq f(x_1)+f(x_2)
\end{align}

または、

\begin{align}
f(\lambda x_1)&=a\lambda x_1+b \\ &\neq \lambda f(x_1)
\end{align}

より\(f\)は線形写像ではありません。

7.  \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)を\(f(x)=x^2\)で定義した場合、

\begin{align}
f(x_1+x_2)&= (x_1+x_2)^2\\&=x_1^2+x_2^2+2x_1x_2 \\ &\neq f(x_1)+f(x_2)
\end{align}

または、

\begin{align}
f(\lambda x_1)&=\lambda ^2 x_1^2 \\&\neq \lambda f(x_1)
\end{align}

より\(f\)は線形写像ではありません。