LU分解とは？ LU分解（LU decomposition）とは行列を下三角行列と上三角行列に分解してそれらの積で表すことです。つまり下三角行列を\(L\)、上三角行列を\(U\)とすると、 $$A=LU$$ という形で… 続きを読む »

定義 対角成分より上の成分が\(0\)である正方行列を上三角行列（upper triangular matrix）、対角成分より下の成分が\(0\)である行列を下三角行列（lower triangular matrix）… 続きを読む »

定理 正則行列\(A\)の逆行列は以下のように表される。 $$A^{-1}=\frac{1}{\mathrm{det} (A)}\tilde{A}$$ 証明 \(\tilde{A}A =B=(b_{ij})\)とする。 … 続きを読む »

定理 \(n \times n\)の行列\(A\)の行列式は任意の\(k \in (1,2,\cdots,n)\)により以下のように表される。 $$\mathrm{det} (A) = \sum_{j=1}^n a_{k… 続きを読む »

定義1 正方行列より第\(i\)行第\(j\)列を除いた行列の行列式を\(M_{ij}\)とし以下で表される\(\tilde{a}_{ij}\)を余因子とよぶ。 $$\tilde{a}_{ij}=(-1)^{i+j}M_… 続きを読む »

定義 \(n \times n\)の行列\(A\)により以下のように表すことができる場合、\(A^{-1}\)を\(A\)の逆行列とよぶ。 $$A A^{-1} = A^{-1} A = I$$ ただし、\(I\)は\(… 続きを読む »

定義 以下のように行と列を入れ替えた行列を転置行列とよび、\(A^T\)のように表す。 下の図は対角を軸として反転するところのイメージです。 例 定理 \begin{align} &1.\ \ (A^{T})^T… 続きを読む »

定理 \(2\)つの行列の積の行列式は、それぞれの行列の行列式の積に等しい。 $$\mathrm{det}(AB)=\mathrm{det}(A)\mathrm{det}(B)$$ 証明1 以下のように\(A\)を基本行… 続きを読む »

定理1 行列\(A\)の\(2\)行を入れ替えた行列を\(A’\)とすると、 $$\mathrm{det} (A’)=-\mathrm{det} (A)$$ 列についても同様。 証明1 第\(i\… 続きを読む »

定理1 正則行列\(A\)のある行を\(c\)倍した行列を\(A’\)すると以下が成り立つ。 $$\mathrm{det}(A’)=c\mathrm(A)$$ 列についても同様。 証明 行列式の定… 続きを読む »