定義 下記\(a.\)と\(b.\)の演算が定義され、\(1.\)から\(8.\)までの公理を満たす、空ではない集合\(V\)をベクトル空間（vector space）または線形空間（linear space）、その要素… 続きを読む »

定義 行列の線形独立な行ベクトルまたは列ベクトルの数を行列のランク（rank）または階数とよび、\(\mathrm{rank}(A)\)、\(\mathrm{rank}A\)のように表す。 線形独立な行ベクトルの数を行ラ… 続きを読む »

線形結合 定義1ベクトル\(\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\cdots \boldsymbol{v}_n\)とスカラー\(c_1,c_2,\cdots,c_n\)にて以下のように表し… 続きを読む »

LU分解は行列を下三角行列と上三角行列の積で表す方法でしたが、行・列の入れ替えを行わない場合と行う場合を区別する場合、後者をPLU分解（PLU decomposition/factorization）、LUP分解、部分ピ… 続きを読む »

LU分解とは？ LU分解（LU decomposition）とは行列を下三角行列と上三角行列に分解してそれらの積で表すことです。つまり下三角行列を\(L\)、上三角行列を\(U\)とすると、 $$A=LU$$ という形で… 続きを読む »

定義 対角成分より上の成分が\(0\)である正方行列を上三角行列（upper triangular matrix）、対角成分より下の成分が\(0\)である行列を下三角行列（lower triangular matrix）… 続きを読む »

定理 正則行列\(A\)の逆行列は以下のように表される。 $$A^{-1}=\frac{1}{\mathrm{det} (A)}\tilde{A}$$ 証明 \(\tilde{A}A =B=(b_{ij})\)とする。 … 続きを読む »

定理 \(n \times n\)の行列\(A\)の行列式は任意の\(k \in (1,2,\cdots,n)\)により以下のように表される。 $$\mathrm{det} (A) = \sum_{j=1}^n a_{k… 続きを読む »

定義1 正方行列より第\(i\)行第\(j\)列を除いた行列の行列式を\(M_{ij}\)とし以下で表される\(\tilde{a}_{ij}\)を余因子とよぶ。 $$\tilde{a}_{ij}=(-1)^{i+j}M_… 続きを読む »

定義 \(n \times n\)の行列\(A\)により以下のように表すことができる場合、\(A^{-1}\)を\(A\)の逆行列とよぶ。 $$A A^{-1} = A^{-1} A = I$$ ただし、\(I\)は\(… 続きを読む »