定義
\(V\)を体\(\mathbb{K}\)上のベクトル空間、\(W \subseteq V,\ \ \boldsymbol{a},\boldsymbol{b} \in W ,\ \ \lambda \in \mathbb{K}\)としたときに下記を満たす\(W\)を線形部分空間（linear subspace）とよぶ。 1. \(\boldsymbol{0} \in W\) 2. \(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\in W\) 3. \(\lambda \boldsymbol{a}\in W\)
補足
定義では\(V\)を\(\mathbb{K}\)の上のベクトル空間としましたが、例えば\(V\)が\(\mathbb{R}\)の上に存在する場合、\(\lambda \in \mathbb{R}\)とすれば同じように線形部分空間が定義できます。
線形部分空間の例
例1.1
元の空間と同一である集合は線形部分空間です。
$$W=V$$
要素が\(\boldsymbol{0}\)だけである集合も線形部分空間です。
$$W=\{\boldsymbol{0}\}$$
これらを自明な部分空間（trivial subspace）とよびます。
例1.2
$$V=\mathbb{R}^2, \ \ W=\left\{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} \in \mathbb{R}^2 \ \middle | \ y=2x \right\}$$
とします。
この場合、明らかに\(\boldsymbol{0} \in W\)です。
また、
$$\boldsymbol{a}=\begin{pmatrix}t_a\\2t_a\end{pmatrix} \in W$$
$$\boldsymbol{b}=\begin{pmatrix}t_b\\2t_b\end{pmatrix} \in W$$
に対し、
$$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=\begin{pmatrix}t_a+t_b\\2(t_a+t_b)\end{pmatrix} \in W$$
$$\lambda \boldsymbol{a}=\begin{pmatrix}\lambda t_a\\2\lambda t_a\end{pmatrix} \in W$$
より、加法とスカラー乗法について閉じています。
例1.3
$$V=\mathbb{R}^3, \ \ W=\left\{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} \in \mathbb{R}^3 \ \middle | \ z=0\right\}$$
とすると明らかに\(\boldsymbol{0} \in W\)です。また、
$$\boldsymbol{a}=\begin{pmatrix}a_x\\a_y\\0\end{pmatrix} \in W$$
$$\boldsymbol{b}=\begin{pmatrix}b_x\\b_y\\0\end{pmatrix} \in W$$
とおくと、
$$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=\begin{pmatrix}a_x+b_x\\a_y+b_y\\0\end{pmatrix}\in W$$
$$\lambda \boldsymbol{a}=\begin{pmatrix}\lambda a_x\\\lambda a_y\\0\end{pmatrix} \in W$$
より、加法・スカラー乗法について閉じています。
なお、
$$V=\mathbb{R}^3, \ \ W=\left\{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} \in \mathbb{R}^3 \ \middle | \ z=1\right\}$$
とした場合は\(W\)は原点を含まないので線形部分空間ではありません。
例1.4
\(V=\mathbb{R}^n\)の基底\(\{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\cdots,\boldsymbol{v}_k\}\)が張る空間を\(W\)、すなわち
$$W=\mathrm{span}\left\{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\cdots,\boldsymbol{v}_k \right\}$$
とします。
これも明らかに、
$$\boldsymbol{0} \in \mathrm{span}\left\{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\cdots,\boldsymbol{v}_k \right\} = W$$
です。
$$\boldsymbol{a}=s_1\boldsymbol{v}_1+s_2\boldsymbol{v}_2+\cdots + s_k \boldsymbol{v}_k$$
$$\boldsymbol{b}=t_1\boldsymbol{v}_1+t_2\boldsymbol{v}_2+\cdots + t_k \boldsymbol{v}_k$$
とすると、
$$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(s_1+t_1)\boldsymbol{v}_1+(s_2+t_2)\boldsymbol{v}_2+\cdots + (s_k+t_k) \boldsymbol{v}_k \in W$$
$$\lambda \boldsymbol{a}=(\lambda s_1) \boldsymbol{v}_1+(\lambda s_2)\boldsymbol{v}_2+\cdots + (\lambda s_k) \boldsymbol{v}_k \in W$$
より、加法とスカラー乗法について閉じています。
線形部分空間ではない例
例2.1
$$V=\mathbb{R}^2, \ \ W=\left\{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} \in \mathbb{R}^2 \ \middle | \ y=2x+1 \right\}$$
の場合、\(W\)は\(xy\)平面上では直線になりますが、この直線は原点を通りません。
例2.2
$$V=\mathbb{R}^2, \ \ W=\left\{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} \in \mathbb{R}^2 \ \middle | \ xy \ge 0 \right\}$$
とした場合の、以下の要素2つについて、
$$\begin{pmatrix}a_x\\a_y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix} \in W$$
$$\begin{pmatrix}b_x\\b_y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\-1\end{pmatrix} \in W$$
和は、
$$\begin{pmatrix}a_x\\a_y\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}b_x\\b_y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix} \notin W$$
ととなり、\(W\)に属しません。つまり加法について閉じていません。
例2.3
$$V=\mathbb{R}^2, \ \ W=\left\{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} \in \mathbb{R}^2 \ \middle | \ x,y \ge 0\right\}$$
において、
\(\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix} \in W\)の\(-1\)倍は\( \begin{pmatrix}-1\\-2\end{pmatrix} \notin W\)となり、スカラー乗法について閉じていません。
