線形代数 – 線形部分空間

補足

定義では$V$を$\mathbb{K}$の上のベクトル空間としましたが、例えば$V$が$\mathbb{R}$の上に存在する場合、$\lambda \in \mathbb{R}$とすれば同じように線形部分空間が定義できます。

線形部分空間の例

例1.1

元の空間と同一である集合は線形部分空間です。

$$W=V$$

要素が$\boldsymbol{0}$だけである集合も線形部分空間です。

$$W=\{\boldsymbol{0}\}$$

これらを自明な部分空間（trivial subspace）とよびます。

例1.2

$$V=\mathbb{R}^2, \ \ W=\left\{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} \in \mathbb{R}^2 \ \middle | \ y=2x \right\}$$

とします。

この場合、明らかに$\boldsymbol{0} \in W$です。

また、

$$\boldsymbol{a}=\begin{pmatrix}t_a\\2t_a\end{pmatrix} \in W$$

$$\boldsymbol{b}=\begin{pmatrix}t_b\\2t_b\end{pmatrix} \in W$$

に対し、

$$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=\begin{pmatrix}t_a+t_b\\2(t_a+t_b)\end{pmatrix} \in W$$

$$\lambda \boldsymbol{a}=\begin{pmatrix}\lambda t_a\\2\lambda t_a\end{pmatrix} \in W$$

より、加法とスカラー乗法について閉じています。

例1.3

$$V=\mathbb{R}^3, \ \ W=\left\{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} \in \mathbb{R}^3 \ \middle | \ z=0\right\}$$

とすると明らかに$\boldsymbol{0} \in W$です。また、

$$\boldsymbol{a}=\begin{pmatrix}a_x\\a_y\\0\end{pmatrix} \in W$$

$$\boldsymbol{b}=\begin{pmatrix}b_x\\b_y\\0\end{pmatrix} \in W$$

とおくと、

$$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=\begin{pmatrix}a_x+b_x\\a_y+b_y\\0\end{pmatrix}\in W$$

$$\lambda \boldsymbol{a}=\begin{pmatrix}\lambda a_x\\\lambda a_y\\0\end{pmatrix} \in W$$

より、加法・スカラー乗法について閉じています。

なお、

$$V=\mathbb{R}^3, \ \ W=\left\{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} \in \mathbb{R}^3 \ \middle | \ z=1\right\}$$

とした場合は$W$は原点を含まないので線形部分空間ではありません。

例1.4

$V=\mathbb{R}^n$の基底$\{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\cdots,\boldsymbol{v}_k\}$が張る空間を$W$、すなわち

$$W=\mathrm{span}\left\{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\cdots,\boldsymbol{v}_k \right\}$$

とします。

これも明らかに、

$$\boldsymbol{0} \in \mathrm{span}\left\{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\cdots,\boldsymbol{v}_k \right\} = W$$

です。

$$\boldsymbol{a}=s_1\boldsymbol{v}_1+s_2\boldsymbol{v}_2+\cdots + s_k \boldsymbol{v}_k$$

$$\boldsymbol{b}=t_1\boldsymbol{v}_1+t_2\boldsymbol{v}_2+\cdots + t_k \boldsymbol{v}_k$$

とすると、

$$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(s_1+t_1)\boldsymbol{v}_1+(s_2+t_2)\boldsymbol{v}_2+\cdots + (s_k+t_k) \boldsymbol{v}_k \in W$$

$$\lambda \boldsymbol{a}=(\lambda s_1) \boldsymbol{v}_1+(\lambda s_2)\boldsymbol{v}_2+\cdots + (\lambda s_k) \boldsymbol{v}_k \in W$$

より、加法とスカラー乗法について閉じています。

線形部分空間ではない例

例2.1

$$V=\mathbb{R}^2, \ \ W=\left\{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} \in \mathbb{R}^2 \ \middle | \ y=2x+1 \right\}$$

の場合、$W$は$xy$平面上では直線になりますが、この直線は原点を通りません。

例2.2

$$V=\mathbb{R}^2, \ \ W=\left\{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} \in \mathbb{R}^2 \ \middle | \ xy \ge 0 \right\}$$

とした場合の、以下の要素2つについて、

$$\begin{pmatrix}a_x\\a_y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix} \in W$$

$$\begin{pmatrix}b_x\\b_y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\-1\end{pmatrix} \in W$$

和は、

$$\begin{pmatrix}a_x\\a_y\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}b_x\\b_y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix} \notin W$$

ととなり、$W$に属しません。つまり加法について閉じていません。

例2.3

$$V=\mathbb{R}^2, \ \ W=\left\{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} \in \mathbb{R}^2 \ \middle | \ x,y \ge 0\right\}$$

において、

$\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix} \in W$の$-1$倍は$\begin{pmatrix}-1\\-2\end{pmatrix} \notin W$となり、スカラー乗法について閉じていません。