線形代数 – 線形部分空間

投稿者: | 2024年3月3日

定義

Vを体\mathbb{K}上のベクトル空間、W \subseteq V,\ \ \boldsymbol{a},\boldsymbol{b} \in W ,\ \ \lambda \in \mathbb{K}としたときに下記を満たすW線形部分空間(linear subspace)とよぶ。
1. \boldsymbol{0} \in W
2. \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\in W
3. \lambda \boldsymbol{a}\in W

補足

定義ではV\mathbb{K}の上のベクトル空間としましたが、例えばV\mathbb{R}の上に存在する場合、\lambda \in \mathbb{R}とすれば同じように線形部分空間が定義できます。

線形部分空間の例

例1.1

元の空間と同一である集合は線形部分空間です。

W=V

要素が\boldsymbol{0}だけである集合も線形部分空間です。

W=\{\boldsymbol{0}\}

これらを自明な部分空間(trivial subspace)とよびます。

例1.2

V=\mathbb{R}^2, \ \ W=\left\{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} \in \mathbb{R}^2 \ \middle | \ y=2x \right\}

とします。

この場合、明らかに\boldsymbol{0} \in Wです。

また、

\boldsymbol{a}=\begin{pmatrix}t_a\\2t_a\end{pmatrix} \in W

\boldsymbol{b}=\begin{pmatrix}t_b\\2t_b\end{pmatrix} \in W

に対し、

\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=\begin{pmatrix}t_a+t_b\\2(t_a+t_b)\end{pmatrix} \in W

\lambda \boldsymbol{a}=\begin{pmatrix}\lambda t_a\\2\lambda t_a\end{pmatrix} \in W

より、加法とスカラー乗法について閉じています。

例1.3

V=\mathbb{R}^3, \ \ W=\left\{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} \in \mathbb{R}^3 \ \middle | \ z=0\right\}

とすると明らかに\boldsymbol{0} \in Wです。また、

\boldsymbol{a}=\begin{pmatrix}a_x\\a_y\\0\end{pmatrix} \in W

\boldsymbol{b}=\begin{pmatrix}b_x\\b_y\\0\end{pmatrix} \in W

とおくと、

\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=\begin{pmatrix}a_x+b_x\\a_y+b_y\\0\end{pmatrix}\in W

\lambda \boldsymbol{a}=\begin{pmatrix}\lambda a_x\\\lambda a_y\\0\end{pmatrix} \in W

より、加法・スカラー乗法について閉じています。

なお、

V=\mathbb{R}^3, \ \ W=\left\{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} \in \mathbb{R}^3 \ \middle | \ z=1\right\}

とした場合はWは原点を含まないので線形部分空間ではありません。

例1.4

V=\mathbb{R}^nの基底\{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\cdots,\boldsymbol{v}_k\}が張る空間をW、すなわち

W=\mathrm{span}\left\{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\cdots,\boldsymbol{v}_k \right\}

とします。

これも明らかに、

\boldsymbol{0} \in \mathrm{span}\left\{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\cdots,\boldsymbol{v}_k \right\} = W

です。

\boldsymbol{a}=s_1\boldsymbol{v}_1+s_2\boldsymbol{v}_2+\cdots + s_k \boldsymbol{v}_k

\boldsymbol{b}=t_1\boldsymbol{v}_1+t_2\boldsymbol{v}_2+\cdots + t_k \boldsymbol{v}_k

とすると、

\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(s_1+t_1)\boldsymbol{v}_1+(s_2+t_2)\boldsymbol{v}_2+\cdots + (s_k+t_k) \boldsymbol{v}_k \in W

\lambda \boldsymbol{a}=(\lambda s_1) \boldsymbol{v}_1+(\lambda s_2)\boldsymbol{v}_2+\cdots + (\lambda s_k) \boldsymbol{v}_k \in W

より、加法とスカラー乗法について閉じています。

線形部分空間ではない例

例2.1

V=\mathbb{R}^2, \ \ W=\left\{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} \in \mathbb{R}^2 \ \middle | \ y=2x+1 \right\}

の場合、Wxy平面上では直線になりますが、この直線は原点を通りません。

例2.2

V=\mathbb{R}^2, \ \ W=\left\{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} \in \mathbb{R}^2 \ \middle | \ xy \ge 0 \right\}

とした場合の、以下の要素2つについて、

\begin{pmatrix}a_x\\a_y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix} \in W

\begin{pmatrix}b_x\\b_y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\-1\end{pmatrix} \in W

和は、

\begin{pmatrix}a_x\\a_y\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}b_x\\b_y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix} \notin W

ととなり、Wに属しません。つまり加法について閉じていません。

例2.3

V=\mathbb{R}^2, \ \ W=\left\{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} \in \mathbb{R}^2 \ \middle | \ x,y \ge 0\right\}

において、

\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix} \in W-1倍は \begin{pmatrix}-1\\-2\end{pmatrix} \notin Wとなり、スカラー乗法について閉じていません。