定義
下記\(a.\)と\(b.\)の演算が定義され、\(1.\)から\(8.\)までの公理を満たす、空ではない集合\(V\)をベクトル空間（vector space）または線形空間（linear space）、その要素（元）をベクトル（vector）とよぶ。
全ての\(\boldsymbol{u},\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\in V,\lambda ,\mu \in \mathbb{K}\)に対し、
a. \(\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}\in V\)を満たす演算（加法、\(「+」\)）
b. \(\lambda \boldsymbol{v}\in V\)を満たす演算（スカラー乗法、\(「\cdot」\)）
1. \(\boldsymbol{u}+(\boldsymbol{v}+\boldsymbol{w}) = (\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v})+\boldsymbol{w}\)（加法の結合法則）
2. \(\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v} = \boldsymbol{v}+\boldsymbol{u}\)（加法の交換法則）
3. \(\boldsymbol{v}+\boldsymbol{0} = \boldsymbol{v}\)を満たす\(\boldsymbol{0} \in V\)が存在する（加法単位元の存在）
4. \(\boldsymbol{v}+(-\boldsymbol{v})=\boldsymbol{0}\)を満たす\(-\boldsymbol{v} \in V\)が存在する（加法逆元の存在）
5. \(\lambda (\mu\boldsymbol{v})=(\lambda \mu) \boldsymbol{v}\)（乗法の結合法則）
6. \(1 \cdot \boldsymbol{v}=\boldsymbol{v}\)（乗法単位元の存在）
7. \(\lambda(\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v})=\lambda\boldsymbol{u}+\lambda\boldsymbol{v}\)（分配法則）
8. \((\lambda + \mu)\boldsymbol{v}=\lambda\boldsymbol{v}+\mu \boldsymbol{u}\)（分配法則）
説明
・空間とは集合に何らかの性質を加えたものです。空間というと立体を想像しますが、それに限りません。後述の例を確認ください。
・ベクトルとは大きさと向きをもった量ではなく、ベクトル空間の要素です。
・「\(\mathbb{R}\)上のベクトル空間」あるいは「実ベクトル空間」と書かれていた場合は上記定義のスカラーが実数であることを示しています。「\(\mathbb{C}\)上のベクトル空間」、「複素ベクトル空間」であればそれが複素数です。
・上記定義のa. のように加法の結果が同じ集合に属していることを「加法に関して閉じている」といいます。b. についても同様です。
・ベクトル空間の加法が\(V \times V \rightarrow V\)と書かれていた場合、和が\(V\)と\(V\)の直積であることを示しています。また、スカラー乗法が\(\mathbb{R} \times V \rightarrow V\)と書かれていた場合は\(\mathbb{R}\)と\(V\)の直積です。直積とは集合の演算で、\(\mathbb{R} \times V \rightarrow V\)は\(\mathbb{R}\)と\(V\)の要素が演算によって\(V\)に属すると考えてください。
・\((V,+,\cdot)\)と書かれていた場合は\(V\)が「\(+\)」と「\(\cdot\)」の演算をもつ集合であるということを順序組によって表しています。
ベクトル空間の例
例1
\(n\)個の実数の順序組（実数を順に並べたもの）全ての集合を実\(\boldsymbol{n}\)次元数ベクトル空間とよび、\(\mathbb{R}^n\)または\(\mathrm{R}^n\)と表します。\(\lambda \in \mathbb{R}\)上であれば\(\mathbb{R}^n\)はベクトル空間です。
ベクトル空間となることの確認
$$
\boldsymbol{u}=
\begin{pmatrix}
u_1\\
u_2
\end{pmatrix}
\boldsymbol{v}=
\begin{pmatrix}
v_1\\
v_2
\end{pmatrix}
,
\boldsymbol{w}=
\begin{pmatrix}
w_1\\
w_2
\end{pmatrix}
$$
として定義のa.とb. および1.から8.が成立することを確認します。
a.
$$
\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}=
\begin{pmatrix}
u_1\\
u_2
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
v_1\\
v_2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
v_1+w_1\\
v_2+w_2
\end{pmatrix}
$$
\(u_1,u_2,v_1,v_2 \in \mathbb{R}\)であれば\(u_1+v_1,u_2+v_2 \in \mathbb{R}\)です。
b.
$$
\lambda \boldsymbol{v}=
\lambda
\begin{pmatrix}
v_1\\
v_2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\lambda v_1\\
\lambda v_2
\end{pmatrix}
$$
\(v_1,v_2 \in \mathbb{R}\)であれば\(\lambda v_1,\lambda v_2 \in \mathbb{R}\)です。
1.
\begin{align}
\boldsymbol{u}+(\boldsymbol{v}+\boldsymbol{w})&=
\begin{pmatrix}
u_1\\
u_2
\end{pmatrix}
+
\left(\begin{pmatrix}
v_1\\
v_2
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
w_1\\
w_2
\end{pmatrix}\right)\\
&=
\left(\begin{pmatrix}
u_1\\
u_2
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
v_1\\
v_2
\end{pmatrix}\right)
+
\begin{pmatrix}
w_1\\
w_2
\end{pmatrix}\\
&=(\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v})+\boldsymbol{w}
\end{align}
2.
\begin{align}
\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}&=
\begin{pmatrix}
u_1\\
u_2
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
v_1\\
v_2
\end{pmatrix}\\
&=
\begin{pmatrix}
u_1+v_1\\
u_2+v_2
\end{pmatrix}\\
&=
\begin{pmatrix}
v_1+u_1\\
v_2+u_2
\end{pmatrix}\\
&=
\begin{pmatrix}
v_1\\
v_2
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
u_1\\
u_2
\end{pmatrix}\\
&=\boldsymbol{v}+\boldsymbol{u}
\end{align}
3.
$$
\boldsymbol{v}+\boldsymbol{0}=
\begin{pmatrix}
v_1\\
v_2
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
0\\
0
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
v_1\\
v_2
\end{pmatrix}
=\boldsymbol{v}
$$
4.
$$
\boldsymbol{v}+(-\boldsymbol{v})=
\begin{pmatrix}
v_1\\
v_2
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
-v_1\\
-v_2
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
0\\
0
\end{pmatrix}
=\boldsymbol{0}
$$
5.
$$
\lambda (\mu \boldsymbol{v})=
\lambda\left(\mu
\begin{pmatrix}
v_1\\
v_2
\end{pmatrix}\right)
=
\begin{pmatrix}
\lambda \mu v_1\\
\lambda \mu v_2
\end{pmatrix}
=
\left(\lambda \mu \right)
\begin{pmatrix}
v_1\\
v_2
\end{pmatrix}
=
(\lambda \mu)\boldsymbol{v}
$$
6.
$$
1(\boldsymbol{v})=
1
\begin{pmatrix}
v_1\\
v_2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
v_1\\
v_2
\end{pmatrix}
=\boldsymbol{v}
$$
7.
\begin{align}
\lambda\left(\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}\right)&=
\lambda
\left(
\begin{pmatrix}
u_1\\
u_2
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
v_1\\
v_2
\end{pmatrix}\right)\\
&=\lambda
\begin{pmatrix}
u_1\\
u_2
\end{pmatrix}
+
\lambda
\begin{pmatrix}
v_1\\
v_2
\end{pmatrix}\\
&=
\begin{pmatrix}
\lambda u_1+\lambda v_1\\
\lambda u_2+\lambda v_2
\end{pmatrix}\\
&=
\lambda
\begin{pmatrix}
u_1\\
u_2
\end{pmatrix}
+
\lambda
\begin{pmatrix}
v_1\\
v_2
\end{pmatrix}\\
&=\lambda \boldsymbol{u}+\lambda\boldsymbol{v}
\end{align}
8.
\begin{align}
\left(\lambda + \mu\right)\boldsymbol{v}&=
\left(\lambda + \mu \right)
\begin{pmatrix}
v_1\\
v_2
\end{pmatrix}\\
&=
\lambda
\begin{pmatrix}
v_1\\
v_2
\end{pmatrix}
+
\mu
\begin{pmatrix}
v_1\\
v_2
\end{pmatrix}\\
&=
\begin{pmatrix}
\lambda v_1\\
\lambda v_2
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
\mu v_1\\
\mu v_2
\end{pmatrix}\\
&=
\lambda
\begin{pmatrix}
v_1\\
v_2
\end{pmatrix}
+
\mu
\begin{pmatrix}
v_1\\
v_2
\end{pmatrix}\\
&=\lambda \boldsymbol{u}+\lambda\boldsymbol{v}
\end{align}
※\(\mathbb{R}^n\)と似た概念にユークリッド空間があります。しかしユークリッド空間には決まった定義がありません。ユークリッド空間はベクトル空間であるとされる場合もあればそうでない場合もあります。
例2
\(M_{m n}(\mathbb{R})\)を、成分が実数でサイズが\(m \times n\)である全ての行列の集合とすると\(M_{m n}(\mathbb{R})\)はベクトル空間です。
ベクトル空間となることの確認
$$
U=
\begin{pmatrix}
u_{11}&u_{12}\\
u_{21}&u_{22}
\end{pmatrix}\\
V=
\begin{pmatrix}
v_{11}&v_{12}\\
v_{21}&v_{22}
\end{pmatrix}\\
$$
$$
u_{11},u_{12},u_{21},u_{22},v_{11},v_{12},v_{21},v_{22} \in \mathbb{R}
$$
とします。
a.
\(u_{11}+v_{11},u_{12}+v_{12},u_{21}+v_{21},u_{22}+v_{22} \in \mathbb{R}\)より、
\begin{align}
U+V&=
\begin{pmatrix}
u_{11}&u_{12}\\
u_{21}&u_{21}
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
v_{11}&v_{12}\\
v_{21}&v_{22}
\end{pmatrix}\\
&=
\begin{pmatrix}
u_{11}+v_{11}&u_{12}+v_{12}\\
u_{21}+v_{21}&u_{21}+v_{21}
\end{pmatrix}\\
&\in \mathrm{P}_4
\end{align}
b.
\(\lambda v_{11},\lambda v_{12},\lambda v_{21},\lambda v_{22} \in \mathbb{R}\)より、
\begin{align}
\lambda V&=
\lambda\begin{pmatrix}
v_{11}&v_{12}\\
v_{21}&v_{21}
\end{pmatrix}\\
&=
\begin{pmatrix}
\lambda v_{11}&\lambda v_{12}\\
\lambda v_{21}&\lambda v_{21}
\end{pmatrix}\\
&\in \mathrm{P}_4
\end{align}
1.
\begin{align}
U+(V+W)&=
\begin{pmatrix}
u_{11}&u_{12}\\
u_{21}&u_{21}
\end{pmatrix}
+
\left(
\begin{pmatrix}
v_{11}&v_{12}\\
v_{21}&v_{22}
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
w_{11}&w_{12}\\
w_{21}&w_{22}
\end{pmatrix}
\right)\\
&=
\begin{pmatrix}
u_{11}+v_{11}+w_{11}&u_{12}+v_{12}+w_{12}\\
u_{21}+v_{21}+w_{21}&u_{22}+v_{22}+w_{22}\\
\end{pmatrix}\\
&=
\left(
\begin{pmatrix}
u_{11}&u_{12}\\
u_{21}&u_{21}
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
v_{11}&v_{12}\\
v_{21}&v_{21}
\end{pmatrix}
\right)
+
\begin{pmatrix}
w_{11}&w_{12}\\
w_{21}&w_{21}
\end{pmatrix}\\
&=(U+V)+W
\end{align}
2.
\begin{align}
U+V&=
\begin{pmatrix}
u_{11}&u_{12}\\
u_{21}&u_{22}
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
v_{11}&v_{12}\\
v_{21}&v_{22}
\end{pmatrix}\\
&=
\begin{pmatrix}
u_{11}+v_{11}&u_{12}+v_{12}\\
u_{21}+v_{21}&u_{22}+v_{22}
\end{pmatrix}\\
U+V&=
\begin{pmatrix}
v_{11}&v_{12}\\
v_{21}&v_{22}
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
u_{11}&u_{12}\\
u_{21}&u_{22}
\end{pmatrix}\\
&=V+U
\end{align}
3.
\begin{align}
U+0
&=
\begin{pmatrix}
u_{11}&u_{12}\\
u_{21}&u_{22}
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
0&0\\
0&0
\end{pmatrix}\\
&=
\begin{pmatrix}
u_{11}&u_{12}\\
u_{21}&u_{22}
\end{pmatrix}\\
&=U
\end{align}
4.
\begin{align}
U+(-U)
&=
\begin{pmatrix}
u_{11}&u_{12}\\
u_{21}&u_{22}
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
-u_{11}&-u_{12}\\
-u_{21}&-u_{22}
\end{pmatrix}\\
&=
\begin{pmatrix}
0&0\\
0&0
\end{pmatrix}\\
&=0
\end{align}
5.
\begin{align}
\lambda (\mu U)
&=
\lambda \left(\mu
\begin{pmatrix}
u_{11}&u_{12}\\
u_{21}&u_{22}
\end{pmatrix}
\right)\\
&=
\begin{pmatrix}
\lambda \mu u_{11}&\lambda \mu u_{12}\\
\lambda \mu u_{21}&\lambda \mu u_{22}
\end{pmatrix}\\
&=
(\lambda \mu)
\begin{pmatrix}
u_{11}&u_{12}\\
u_{21}&u_{22}
\end{pmatrix}\\
&=
(\lambda \mu)U
\end{align}
6.
\begin{align}
1U
=
1
\begin{pmatrix}
u_{11}&u_{12}\\
u_{21}&u_{22}
\end{pmatrix}
=
U
\end{align}
7.
\begin{align}
\lambda(U+V)
&=
\lambda \left(\begin{pmatrix}
u_{11}&u_{12}\\
u_{21}&u_{22}
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
v_{11}&v_{12}\\
v_{21}&v_{22}
\end{pmatrix}
\right)\\
&=
\begin{pmatrix}
\lambda u_{11}+\lambda v_{11}&\lambda u_{12}+\lambda v_{12}\\
\lambda u_{21}+\lambda v_{21}&\lambda u_{22}+\lambda u_{22}
\end{pmatrix}\\
&=
\begin{pmatrix}
\lambda u_{11}&\lambda u_{12}\\
\lambda u_{21}&\lambda u_{22}
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
\lambda v_{11}&\lambda v_{12}\\
\lambda v_{21}&\lambda v_{22}
\end{pmatrix}\\
&=
\lambda U+\lambda V
\end{align}
8.
\begin{align}
(\lambda +\mu)U&=
(\lambda +\mu)
\begin{pmatrix}
u_{11}&u_{12}\\
u_{21}&u_{22}
\end{pmatrix}\\
&=
\begin{pmatrix}
\lambda u_{11}+\mu u_{11}&\lambda u_{12}+\mu u_{12}\\
\lambda u_{21}+\mu u_{22}&\lambda u_{21}+\mu u_{22}
\end{pmatrix}\\
&=
\begin{pmatrix}
\lambda u_{11}&\lambda u_{12}\\
\lambda u_{21}&\lambda u_{22}
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
\mu u_{11}&\mu u_{12}\\
\mu u_{21}&\mu u_{22}
\end{pmatrix}\\
&=\lambda U+\mu U
\end{align}
例3
\(\mathbb{P}_n\)を以下のような係数が実数である多項式全体のなす集合とすると\(\mathbb{P}_n\)はベクトル空間です。
$$\mathrm{P}_n=\{a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots +a_n x^n \in \mathbb{R}^{n+1}\mid a_0,a_1,a_2,\cdots,a_n \in \mathbb{R}\}$$
\(2\)次以上の場合、ベクトル空間ではないように思えますが、基底を\(\{1,x,x^2,\cdots ,x^n\}\)であると考えれば\(\mathrm{P}_n\)は基底が張る次元が\(n\)の空間になります。
ベクトル空間となることの確認
\begin{align}
p(x)&= b_0+b_1 x + b_2 x^2+b_3x^3 \in \mathrm{P}_4\\
q(x)&= c_0+c_1 x + c_2 x^2+c_3x^3 \in \mathrm{P}_4\\
r(x)&= d_0+d_1 x + d_2 x^2+d_3x^3 \in \mathrm{P}_4
\end{align}
\begin{align}
b_0,b_1,b_2,b_3 &\in \mathbb{R}\\
c_0,c_1,c_2,c_3 &\in \mathbb{R}\\
d_0,d_1,d_2,d_3 &\in \mathbb{R}
\end{align}
とします。
a.
\(b_0+c_0,b_1+c_1,b_2+c_2,b_3+c_3 \in \mathbb{R}\)より、
\begin{align}
p(x)+q(x)&=b_0+b_1 x + b_2 x^2+b_3x^3+c_0+c_1 x + c_2 x^2+c_3x^3\\
&=(b_0+c_0)+(b_1+c_1)x+(b_2+c_2)x^2+(b_3+c_3)x^3\\
&\in \mathrm{P}_4
\end{align}
b.
\(\lambda b_0,\lambda b_1,\lambda b_2,\lambda b_3 \in \mathbb{R}\)より、
\begin{align}
\lambda p(x)&=\lambda(b_0+b_1 x + b_2 x^2+b_3x^3)\\
&=(\lambda b_0)+(\lambda b_1) x+(\lambda b_2) x^2+(\lambda b_3) x^3\\
&\in \mathrm{P}_4
\end{align}
1.
\begin{align}
p(x)+(q(x)+r(x))&=b_0+b_1 x + b_2 x^2+b_3x^3\\
&\quad+(c_0+c_1 x + c_2 x^2+c_3x^3+d_0+d_1 x + d_2 x^2+d_3x^3)\\
&=(b_0+b_1 x + b_2 x^2+b_3x^3+c_0+c_1 x + c_2 x^2+c_3x^3)\\
&\quad+d_0+d_1 x + d_2 x^2+d_3x^3\\
&=(p(x)+q(x))+r(x)
\end{align}
2.
\begin{align}
p(x)+q(x)&=b_0+b_1 x + b_2 x^2+b_3x^3+c_0+c_1 x + c_2 x^2+c_3x^3\\
&=c_0+c_1 x + c_2 x^2+c_3x^3+b_0+b_1 x + b_2 x^2+b_3x^3\\
&=q(x)+p(x)
\end{align}
3.
\begin{align}
p(x)+0&=b_0+b_1 x + b_2 x^2+b_3x^3+0\\
&=b_0+b_1 x + b_2 x^2+b_3x^3\\
&=p(x)
\end{align}
4.
\begin{align}
p(x)+(-p(x))&=b_0+b_1 x + b_2 x^2+b_3x^3+(-b_0-b_1 x – b_2 x^2-b_3x^3)\\
&=0
\end{align}
5.
\begin{align}
\lambda(\mu p(x))&=\lambda(\mu b_0+\mu b_1 x + \mu b_2 x^2+\mu b_3x^3)\\
&=\lambda\mu b_0+\lambda\mu b_1 x + \lambda\mu b_2 x^2+\lambda\mu b_3x^3\\
&=(\lambda\mu)( b_0+ b_1 x + b_2 x^2+ b_3x^3)\\
&=(\lambda\mu)p(x)
\end{align}
6.
\begin{align}
1\cdot p(x)&=1 \cdot (b_0+b_1 x + b_2 x^2+ b_3x^3)\\
&=b_0+b_1 x + b_2 x^2+ b_3x^3\\
&=p(x)
\end{align}
7.
\begin{align}
\lambda(p(x)+q(x))&=\lambda(b_0+b_1 x + b_2 x^2+b_3x^3+c_0+c_1 x + c_2 x^2+c_3x^3)\\
&=\lambda(b_0+b_1 x + b_2 x^2+b_3x^3)+\lambda(c_0+c_1 x + c_2 x^2+c_3x^3)\\
&=\lambda p(x)+ \lambda q(x)
\end{align}
8.
\begin{align}
(\lambda + \mu)p(x)&=(\lambda + \mu)(b_0+b_1 x + b_2 x^2+b_3x^3)\\
&=\lambda(b_0+b_1 x + b_2 x^2+b_3x^3)+\mu(b_0+b_1 x + b_2 x^2+b_3x^3)\\
&=\lambda p(x) + \mu p(x)
\end{align}
例4
\(V,W\)を\(\mathbb{R}\)上のベクトル空間、\(L(V,W)\)を\(V\)から\(W\)への全ての線形写像とすると\(L(V,W)\)はベクトル空間です。
ベクトル空間となることの確認
\(S \in L(V,W),T \in L(V,W),x \in V\)とします。
a.
線形写像の定義より、
$$(S+T)(\boldsymbol{v})=S(\boldsymbol{v})+T(\boldsymbol{v})$$
\(S \in L(V,W),T \in L(V,W)\)であれば\(S+T \in L(V,W)\)です。
b.
線形写像の定義より、
$$(\lambda T)(\boldsymbol{v})=\lambda T(\boldsymbol{v}))$$
\(T \in L(V,W)\)であれば\(\lambda T \in L(V,W)\)です。
1.-8.は実数の性質より明らかです。
例5
\(V=\left\{y\in \mathbb{C} \middle | y^{\prime\prime}+ay^{\prime}+by=0,a,b \in \mathbb{R} \right\}\)とすると\(V\)はベクトル空間です。
ベクトル空間となることの確認
この解が\(y_1,y_2\)であり、
\begin{align}
y^{\prime\prime}_1+ay^{\prime}_1+by_1&=0 \tag{1}\\
y^{\prime\prime}_2+ay^{\prime}_2+by_2&=0 \tag{2}\\
\end{align}
が成り立つとします。
a.
\((1)+(2)\)は、
\begin{align}
&\quad \ \, y^{\prime\prime}_1+ay^{\prime}_1+by_1+y^{\prime\prime}_2+ay^{\prime}_2+by_2\\
&=(y^{\prime\prime}_1+y^{\prime\prime}_2)+a(y^{\prime}_1+y^{\prime}_1)+b(y_1+y_2)\\
&=(y_1+y_2)^{\prime\prime}+a(y_1+y_2)^{\prime}+b(y_1+y_2)\\
&=0
\end{align}
となることより\(y_1+y_2\)は解です。
b.
\((1)\)の両辺を\(\lambda\)倍すると、
\begin{align}
&\quad \ \, \lambda y^{\prime\prime\prime}_1+\lambda a y^{\prime\prime}_1+\lambda by^{\prime}_1+\lambda c y_1\\
&=(\lambda y_1)^{\prime\prime\prime} + a (\lambda y_1)^{\prime\prime}+b(\lambda y_1)^{\prime}+c(\lambda y_1)\\
&=0
\end{align}
となるので\(\lambda y_1\)は解つまり\(V\)に属します。
2.-8.は実数の性質より明らかです。
ベクトル空間ではない例
例1
\(V=\left\{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} \ \middle | \ x,y \in \mathbb{R} , x \ge 0, y \ge 0\right\}\)、つまり\(V\)は\(x\)と\(y\)が\(0\)以上の\(\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\)の集合であるとすると、加法については閉じていますが、\(\lambda \lt 0\)とした場合\(\lambda x \lt 0,\lambda y \lt 0\)となりスカラー乗法については閉じていません。
例2
\(\lambda \in \mathbb{C}\)とすると\(\lambda\)は複素数なので\(\mathbb{R}\)は\(\mathbb{C}\)上ではスカラー乗法について閉じていません。
例3
\(V=\left\{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} \ \middle | \ x,y \in \mathbb{R} , x + y = 1 \right\}\)とすると\(\boldsymbol{0}\)は\(V\)に属しません。
例4
\(n \times n\)の正則行列の集合を\(V\)とすると、\(0\)は逆行列をもたないので\(V\)に属しません。
例5
\(V=\left\{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} \ \middle | \ x,y \in \mathbb{R} , y =x^2 \right\},\boldsymbol{u}= \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix},\boldsymbol{v}= \begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix} \)とすると、\(\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}= \begin{pmatrix}3\\5\end{pmatrix} \notin V\)となります。
