線形代数 – 行空間・列空間・零空間の定義

行空間・列空間

補足

・行列$A$の列空間は$\mathrm{R}(A)$、行空間は$\mathrm{C}(A)$などと表します。

・「行空間とは、可能な行（列）ベクトルの線形結合全ての集合」という意味でもあります。

・一般には、行空間と列空間は同一ではありません。以下はその例です。

$$\begin{pmatrix} 1&2\\ 3&4 \end{pmatrix}$$

・列空間は値域（range、Range (A)などと表す）と同じ意味です。

・行空間の次元はその行列のランクと同じです。

・行基本変形によって得られる行列の各行ベクトルは線形結合によって同じように得られます。したがって行基本変形によって行空間は変わりません。列についても同様です。

・一般には、行基本変形により列空間は変わります。以下はその例です。

   

同様に、一般には列基本変形によって行空間が変わります。

零空間

補足

・$A$の列の数を$n$とすると、$\mathbb{R}^n$に属し$A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$となる全ての$\boldsymbol{x}$の集合が零空間です。

・零空間とほぼ同じ意味で核（kernel、$\mathrm{Ker}(A)$などと表す）が使われることがあります。

・行空間・列空間は$A$の行・列ベクトルが張る空間であるのに対し、零空間は$\boldsymbol{x}$が張る空間の部分空間である点に注意ください。

・零空間の次元を退化次数（nullity）とよびます。

行空間・列空間・零空間の関係

$A\boldsymbol{x}$と列空間の関係

次の図の左は行列$A$、右は$\boldsymbol{x}$です。

まとめると次のようになります。

図の通り、$A\boldsymbol{x}$は$A$の列ベクトルの線形結合と考えることができます。$\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^n$であれば$A\boldsymbol{x} \in \mathrm{C}(A)$になります。

左零空間

前節の説明は列空間と零空間の関係でしたが、行空間も似た関係をもつ空間を定義できます。

次のような行列とベクトルの積、つまり$\boldsymbol{x}^T A$を図にすると、

まとめると、

となるので$\boldsymbol{x}^T A$は行ベクトルの線形結合と考えることができます。これを$\boldsymbol{0}$としたときの解が張る空間を左零空間（left null space）とよびます。

ただし一般的には両辺を転置して$A^T \boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$の解と考え、$\mathrm{N}(A^T)$と表します。

図での関係の確認

以下の行列の行空間と零空間をグラフにしてみます。

$$\begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&-3&4\\ 0&-3&4 \end{pmatrix}$$

計算の過程は省略しますが、行空間の基底は$(1\ 0\ 0),(0\ -3\ 4)$、零空間の基底は$(0\ 3\ 4)$です。行空間はこの$2$つのベクトルが張る空間なので平面です。

行空間の基底の数$2$なので行空間は$\mathbb{R}^2$、零空間の基底の数は$1$なので零空間は$\mathbb{R}$、行列の行の数は$3$なので行空間と零空間は$\mathbb{R}^3$の部分空間と考えることができます。

以上より、3次元の空間における平面と直線として描いてみます。

$A$の行空間の基底は

基底が張る空間すなわち行空間は、

零空間の基底は、

零空間は、

行空間と零空間を重ねると、

となります。

後述の定理1の通り、両者は直交します。

次に、列空間と左零空間を求めます。

列空間の基底は、

$$\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} ,\ \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}$$

左零空間の基底は、

$$\begin{pmatrix} 0\\ -1\\ 1 \end{pmatrix}$$

より、下の図のようになります。

以上のように（この例では）行空間と列空間は異なること、行空間と零空間、列空間と左零空間は垂直であることがわかります。

4つの基本部分空間

行空間・列空間・零空間・左零空間は4つの基本部分空間とよばれ、下のような図で空間の関係が表されます。この図を元に関係を整理しましょう。

※この図はあくまで概念を表したものであって、直交座標系などで表されたものではない点に注意ください。

さて、図に番号を付けてそれぞれについて説明します。

行列を$A$、サイズを$m \times n$、ランクを$r$とします。

①それぞれの四角形は$\mathrm{C}(A^T)=\mathrm{R}(A),\mathrm{C}(A),\mathrm{N}(A),\mathrm{N}(A^T)$で、$\mathrm{C}(A^T)$と$\mathrm{N}(A)$、$\mathrm{C}(A)$と$\mathrm{N}(A^T)$が原点（四角形の$1$つの角が接する点）のみを共有し、他に共有する要素はありません。

②$\mathrm{C}(A^T)$と$\mathrm{N}(A)$、$\mathrm{C}(A)$と$\mathrm{N}(A^T)$は直交します。

③$\mathrm{C}(A^T)$と$\mathrm{C}(A)$の次元は$r$、$\mathrm{N}(A)$の次元は$n-r$、$\mathrm{N}(A^T)$の次元は$m-r$です（次元定理）。

④$\mathrm{C}(A^T)$と$\mathrm{N}(A)$は補空間で、その和空間は$\mathbb{R}^n$です。$\mathrm{C}(A)$と$\mathrm{N}(A^T)$は補空間で、その和空間は$\mathbb{R}^m$です。

⑤$\boldsymbol{x}_r \in \mathbb{R}^n$とすると、前述「$A\boldsymbol{x}$と列空間の関係」節の通り、$A^T\boldsymbol{x}_r=\boldsymbol{b}$は$\mathrm{C}(A^T)$に属します。

⑥$\boldsymbol{x}_n\ \in \mathrm{N}(A)$とすると、定義より$A\boldsymbol{x}_n$は$\boldsymbol{0}$になります。

⑦$\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}_r+\boldsymbol{x}_n$とすると、 $$A\boldsymbol{x}=A\boldsymbol{x}_r+A\boldsymbol{x}_n=A\boldsymbol{x}_r+\boldsymbol{0}=A\boldsymbol{x}_r=\boldsymbol{b}$$
より⑤と同じベクトルになります。

※上の図では$\mathrm{N}(A)$に属する$1$つのベクトルのみについて表していますが、$\mathrm{N}(A)$に属するベクトルは$A$を掛けると全て同じように$\boldsymbol{0}$になります。これに対し$\mathrm{N}(A)$に属さないベクトルは常に$1$点に集まるわけではありません。

以上が$\mathrm{C}(A^T)$または$\mathrm{N}(A)$に属するベクトルに$A$を掛けた場合についての説明です。

$\mathrm{C}(A),\mathrm{N}(A^T)$に属するベクトルに$A^T$を掛けた場合も同じように対応します。

定理

証明

$$\boldsymbol{x}\in \mathrm{N}(A)$$

とする。零空間の定義より、

$$A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$$

両辺を転置し、

$$\boldsymbol{x}^T A^T=\boldsymbol{0}$$

両辺に適当なベクトル$\boldsymbol{v}$を右から掛け、

$$\boldsymbol{x}^T A^T\boldsymbol{v}=0$$

零空間の定義より、

$$A^T \boldsymbol{v} \in \mathrm{R}(A)$$

$\boldsymbol{x}$と$A^T \boldsymbol{v}$は直交するので、

$$\boldsymbol{x} \in \mathrm{R}(A)^\perp$$

したがって、

$$\mathrm{N}(A) \subseteq \mathrm{R}(A)^\perp$$

次に

$$\boldsymbol{y}\in \mathrm{R}(A)^\perp$$

とする。

$$A^T\boldsymbol{v}\in \mathrm{R}(A)$$

となるベクトル$\boldsymbol{v}$が存在するので、

$$\boldsymbol{y}^T A^T\boldsymbol{v}=0$$

$\boldsymbol{v}$は$\boldsymbol{0}$とは限らないので、

$$\boldsymbol{y}^T A^T=\boldsymbol{0}$$

転置し、

$$A\boldsymbol{y} =\boldsymbol{0}$$

定義より、

$$\boldsymbol{y} \in \mathrm{N}(A)$$

したがって、

$$\mathrm{R}(A)^\perp \subseteq \mathrm{N}(A)$$

以上より、

$$\mathrm{R}(A)^\perp = \mathrm{N}(A)$$

■

※$\mathrm{R}(A)^\perp$は$\mathrm{R}(A)$と直交する空間の意味です。

補足

$$\boldsymbol{x}\in\mathrm{N}(A)$$

とします。定義より、

$$A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$$

転置をすると、

$$\boldsymbol{x}^T A^T = \boldsymbol{0}$$

$\boldsymbol{x}^T A^T$と成分の数が同じベクトル$\boldsymbol{v}$を両辺の右より掛けて、

$$(\boldsymbol{x}^T A^T) \boldsymbol{v} =0$$

結合法則より、

$$\boldsymbol{x}^T (A^T \boldsymbol{v}) =0$$

内積が$0$なので$\boldsymbol{x}$と$A^T \boldsymbol{v}$は直交します。また、「$A\boldsymbol{x}$と列空間の関係」の節で述べたように$\boldsymbol{v}$が任意の値をとる場合、

$$A^T \boldsymbol{v} \in \mathrm{C}(A^T)=\mathrm{R}(A)$$

したがって、

$$\boldsymbol{x} \in \mathrm{R}(A)^\perp$$

前提より、

$$\boldsymbol{x}\in\mathrm{N}(A) \Rightarrow \boldsymbol{x} \in \mathrm{R}(A)^\perp$$

が導かれたので、

$$\mathrm{N}(A) \subseteq \mathrm{R}(A)^\perp\tag{a}$$

であることがここまででわかりました。

次に$\boldsymbol{y} \in \mathrm{R}(A)^\perp$とします。

前述の通り$A^T\boldsymbol{v}\in \mathrm{R}(A)$なので$\boldsymbol{y}$と$A^T\boldsymbol{v}$は直交します。直交するということは内積が$0$であるということなので、

$$\boldsymbol{y}^T(A^T\boldsymbol{v})=0$$

結合法則により、

$$(\boldsymbol{y}^TA^T)\boldsymbol{v}=0$$

転置で表し、

$$(A\boldsymbol{y})\boldsymbol{v}=0$$

$\boldsymbol{v}$は$\boldsymbol{0}$とは限らないので

$$A\boldsymbol{y}=\boldsymbol{0}$$

したがって、

$$\boldsymbol{y}\in\mathrm{N}(A)$$

前提条件より、

$$\boldsymbol{y} \in \mathrm{R}(A)^\perp\Rightarrow \boldsymbol{y}\in\mathrm{N}(A)$$

これは、

$$\mathrm{R}(A)^\perp \subseteq \mathrm{N}(A) \tag{b}$$

であることを示しています。

$(a)$と$(b)$の両方を満たすためには

$$\mathrm{N}(A) = \mathrm{R}(A)^\perp$$

でなければなりません。以上より、両者が直交補空間であることがわかります。