基底の変換行列
\(\{\boldsymbol{v}_1,\ \boldsymbol{v}_2,\cdots,\boldsymbol{v}_n\}\)と\(\{\boldsymbol{v}’_1,\ \boldsymbol{v}’_2,\cdots,\boldsymbol{v}’_n\}\)がどちらも\(\mathbb{R}^n\)の基底で\(p_{ij}\ (i,j=1,2\cdots n)\)により以下のように表されるとします。
\begin{align}
\boldsymbol{v}’_1&=p_{11}\boldsymbol{v}_1 + p_{21}\boldsymbol{v}_2+\cdots+ p_{n1}\boldsymbol{v}_n\\
\boldsymbol{v}’_2&=p_{12}\boldsymbol{v}_1 + p_{22}\boldsymbol{v}_2+\cdots+ p_{n2}\boldsymbol{v}_n\\
&\ \ \vdots\\
\boldsymbol{v}’_n&=p_{1n}\boldsymbol{v}_1 + p_{2n}\boldsymbol{v}_2+\cdots+ p_{nn}\boldsymbol{v}_n
\end{align}
\(1\)行目を行列で表すと、
$$\boldsymbol{v}’_1=\begin{pmatrix}\boldsymbol{v}_1&\boldsymbol{v}_2&\cdots\boldsymbol{v}_n\end{pmatrix} \begin{pmatrix}p_{11}\\p_{21}\\ \vdots \\ p_{n1}\end{pmatrix}$$
\(2\)行目以降も同様なのでまとめると、
\begin{align}
&\begin{pmatrix}\!\boldsymbol{v}’_1\!\!&\!\!\boldsymbol{v}’_2\!\!&\!\!\cdots\!\!&\!\!\boldsymbol{v}’_n\!\!\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}\!\boldsymbol{v}_1\!\!&\!\!\boldsymbol{v}_2\!\!&\!\!\cdots\!\!&\!\!\boldsymbol{v}_n\!\!\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\!p_{11}\!\!&\!\!p_{12}\!\!&\!\!\cdots\!\!&\!\!p_{1n}\!\\
\!p_{21}\!\!&\!\!p_{22}\!\!&\!\!\cdots\!\!&\!\!p_{2n}\!\\
\!\vdots\!\!&\!\!\vdots\!\!&\!\!\ddots\!\!&\!\!\vdots\!\\
\!p_{n1}\!\!&\!\!p_{n2}\!\!&\!\!\cdots\!\!&\!\!p_{nn}\!
\end{pmatrix}\\
\end{align}
そこでこれらの行列を定義し、
\begin{align}
V&=\begin{pmatrix}\boldsymbol{v}_1&\boldsymbol{v}_2&\cdots&\boldsymbol{v}_n\end{pmatrix}\\
V’&=\begin{pmatrix}\boldsymbol{v}’_1&\boldsymbol{v}’_2&\cdots&\boldsymbol{v}’_n\end{pmatrix}\\
P&=
\begin{pmatrix}
p_{11}&p_{12}&\cdots&p_{1n}\\
p_{21}&p_{22}&\cdots&p_{2n}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
p_{n1}&p_{n2}&\cdots&p_{nn}
\end{pmatrix}
\end{align}
以下のように表すことができます。
$$V’=VP$$
この\(P\)を基底の変換行列（change of basis matrix）とよびます。
例
\(\{\boldsymbol{v}_1,\ \boldsymbol{v}_2\}\)と\(\{\boldsymbol{v}’_1,\ \boldsymbol{v}’_2\}\)がどちらも\(\mathbb{R}^2\)の基底で、
\begin{align}
\boldsymbol{v}_1&=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\ \ \boldsymbol{v}_2=\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}\\
\boldsymbol{v}’_1&=\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}\ \
\boldsymbol{v}’_1=\begin{pmatrix}2\\8\end{pmatrix}\\
\end{align}
であるとし、以下のように行列を定義します。
\begin{align}
V&=\begin{pmatrix}\boldsymbol{v}_1&\boldsymbol{v}_2\end{pmatrix}\\
V’&=\begin{pmatrix}\boldsymbol{v}’_1&\boldsymbol{v}’_2\end{pmatrix}
\end{align}
基底の変換行列は、
\begin{align}
P&=V^{-1}V’\\
&=\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}3&2\\2&8\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}-2&3/2\\1&-1/2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&2\\2&8\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}-3&8\\2&-2\end{pmatrix}\\
\end{align}
となります。
座標の関係
定理1
\(\{\boldsymbol{v}_1,\ \boldsymbol{v}_2,\cdots,\boldsymbol{v}_n\}\)と\(\{\boldsymbol{v}’_1,\ \boldsymbol{v}’_2,\cdots,\boldsymbol{v}’_n\}\)がどちらも\(\mathbb{R}^n\)の基底であり、それぞれの基底に関する座標\(\boldsymbol{x},\ \boldsymbol{x}’\)により同じベクトルを表すことができるものとする。
行列\(V,\ V’\)を、 \begin{align} V&=\begin{pmatrix}\boldsymbol{v}_1&\boldsymbol{v}_2&\cdots&\boldsymbol{v}_n\end{pmatrix}\\ V’&=\begin{pmatrix}\boldsymbol{v}’_1&\boldsymbol{v}’_2&\cdots&\boldsymbol{v}’_n\end{pmatrix}\\ \end{align}
として、
$$V’=VP$$
となるよう\(P\)を定義すると、座標は以下の関係にある。
$$\boldsymbol{x}’=P^{-1}\boldsymbol{x}$$
ベクトルを基底の線形結合として表した場合、その係数は座標（coordinate）であると考えられます。同じベクトルであっても基底を変えれば座標は変わります。どのように変わるのかを考えてみましょう。
\(\{\boldsymbol{v}_1,\ \boldsymbol{v}_2\}\)が\(\mathbb{R}^2\)の基底で、\(\boldsymbol{u}\)がこの基底に関する座標\(\boldsymbol{x}’=(x_1,\ x_2)\)により、
$$\boldsymbol{u}=x_1 \boldsymbol{v}_1+x_2 \boldsymbol{v}_2$$
と表されるとします。
さらに、\(\{\boldsymbol{v}’_1,\ \boldsymbol{v}’_2\}\)が\(\mathbb{R}^2\)の別の基底で、\(\boldsymbol{u}\)がこの基底に関する座標\(\boldsymbol{x}’=(x’_1,\ x’_2)\)により、
$$\boldsymbol{u}=x’_1 \boldsymbol{v}’_1+x’_2 \boldsymbol{v}’_2$$
と表されるとします。
以下のように\(V,\ V’\)と、
\begin{align}
V&=\begin{pmatrix}\boldsymbol{v}_1&\boldsymbol{v}_2\end{pmatrix}\\
V’&=\begin{pmatrix}\boldsymbol{v}’_1&\boldsymbol{v}’_2\end{pmatrix}\\
\end{align}
基底の変換行列\(P\)を定義し、
$$V’=VP$$
これらにより\(\boldsymbol{u}\)を表すと、
$$\boldsymbol{u}=V\boldsymbol{x}=V’\boldsymbol{x}’=VP\boldsymbol{x}’$$
となるので、
$$\boldsymbol{x}’=P^{-1}\boldsymbol{x}$$
が成り立ちます。
例
\begin{align}
\boldsymbol{v}_1&=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\ \ \ \ \ \boldsymbol{v}_2=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\\
\boldsymbol{v}’_1&=\begin{pmatrix}4/9\\2/9\end{pmatrix}\ \
\boldsymbol{v}’_1=\begin{pmatrix}1/3\\2/3\end{pmatrix}\\
\end{align}
$$\boldsymbol{x}=\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}$$
とすると、
\begin{align}
P
&=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}4/9&1/3\\2/9&2/3\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}4/9&1/3\\2/9&2/3\end{pmatrix}\\
\end{align}
\begin{align}
\boldsymbol{x}’&=P^{-1}\boldsymbol{x}\\
&=\begin{pmatrix}3&-3/2\\-1&2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}
\end{align}
表現行列の関係
定理2
\(\{\boldsymbol{v}_1,\ \boldsymbol{v}_2,\cdots,\boldsymbol{v}_n\}\)と\(\{\boldsymbol{v}’_1,\ \boldsymbol{v}’_2,\cdots,\boldsymbol{v}’_n\}\)がどちらも\(\mathbb{R}^n\)の基底であり、線形写像\(f\)のそれぞれの基底に関する表現行列を\(A,\ A’\)とする。
行列\(V,\ V’\)を、 \begin{align} V&=\begin{pmatrix}\boldsymbol{v}_1&\boldsymbol{v}_2&\cdots&\boldsymbol{v}_n\end{pmatrix}\\ V’&=\begin{pmatrix}\boldsymbol{v}’_1&\boldsymbol{v}’_2&\cdots&\boldsymbol{v}’_n\end{pmatrix} \end{align}
として、 $$V’=VP$$となるよう\(P\)を定義すると、表現行列は以下の関係にある。
$$A’=P^{-1}AP$$
線形写像\(g:U\rightarrow W,\ \boldsymbol{a} \in U\)に対し\(g(\boldsymbol{a}) = B\boldsymbol{a}\)と表すことができる場合、\(B\)を\(g\)の表現行列（representative matrix, representation matrix）とよびます。
表現行列も基底によって決まります。 線形写像\(f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2\)を\(f(\boldsymbol{u})=\boldsymbol{w}\)で定義した場合の基底と表現行列の関係を求めましょう。
下の図と見比べながら以下本文を確認ください。
\(2\)通りの基底と①→②の表現行列が定義されているときに③→④がどのように表されるかを考えます。
③→①
\(\{\boldsymbol{v}_1,\ \boldsymbol{v}_2\}\)と\(\{\boldsymbol{v}’_1,\ \boldsymbol{v}’_2\}\)がいずれも\(\mathbb{R}^2\)の基底で、これらの基底に関する座標\(\boldsymbol{x}=(x_1,\ x_2),\ \boldsymbol{x}’=(x’_1,\ x’_2)\)により、
\begin{align}
\boldsymbol{u}&=x_1 \boldsymbol{v}_1+x_2 \boldsymbol{v}_2\\ \\
\boldsymbol{u}&=x’_1 \boldsymbol{v}’_1+x’_2 \boldsymbol{v}’_2
\end{align}
と表されるベクトルが存在するとします。
基底の変換行列を\(P\)、つまり基底を並べた行列
\begin{align}
V&=\begin{pmatrix} \boldsymbol{v}_1&\boldsymbol{v}_2\end{pmatrix}\\
V’&=\begin{pmatrix} \boldsymbol{v}’_1&\boldsymbol{v}’_2\end{pmatrix}\\
\end{align}
により、
$$V’=VP$$
と表されるとき座標は、
$$\boldsymbol{x}=P\boldsymbol{x}’$$
の関係にあります。
①→②
\(\{\boldsymbol{v}_1,\ \boldsymbol{v}_2\}\)に関する座標\(\boldsymbol{y}=(y_1,\ y_2)\ \)により、
$$\boldsymbol{w}=y_1 \boldsymbol{v}_1+y_2 \boldsymbol{v}_2$$
と表されるとします。
写像の表現行列を\(A\)とすれば座標は、
$$\boldsymbol{y}=A\boldsymbol{x}$$
の関係にあります。
②→④
\(\{\boldsymbol{v}’_1,\ \boldsymbol{v}’_2\}\)に関する座標\(\boldsymbol{y}’=(y’_1,\ y’_2),\ \)により、
$$\boldsymbol{w}=y’_1 \boldsymbol{v}’_1+y’_2 \boldsymbol{v}’_2$$
と表されるとします。
上記③→①とは逆の関係により、
$$\boldsymbol{y}’=P^{-1}\boldsymbol{y}$$
が得られます。
③→④
線形写像\(f\)の\(\{\boldsymbol{v}’_1,\ \boldsymbol{v}’_2\}\)に関する表現行列は③→①→②→④の順の変換と考えられるので、
\begin{align}
\boldsymbol{y}’&=P^{-1}(A(P\boldsymbol{y}))\\
&=P^{-1}AP\boldsymbol{y}
\end{align}
したがって表現行列は
$$A’=P^{-1}AP$$
の関係にあります。
例
上記の基底・表現行列の各成分が、
\begin{align}
\boldsymbol{v}_1&=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\ \ \ \ \ \boldsymbol{v}_2=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\\
\boldsymbol{v}’_1&=\begin{pmatrix}4/9\\2/9\end{pmatrix}\ \
\boldsymbol{v}’_2=\begin{pmatrix}1/3\\2/3\end{pmatrix}\\
\end{align}
$$A=\begin{pmatrix}2&-1/2\\0&2\end{pmatrix}$$
であるとします。\(V,\ V’\)が決まるので、
\begin{align}
P
&=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}4/9&1/3\\2/9&2/3\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}4/9&1/3\\2/9&2/3\end{pmatrix}\\
P^{-1}&=\begin{pmatrix}3&-3/2\\-1&2\end{pmatrix}
\end{align}
より、
\begin{align}
A’&=P^{-1}AP\\
&=\begin{pmatrix}\!3\!\!&\!-3/2\!\\\!-1\!\!&2\!\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\!2\!&\!-1/2\!\\\!0\!&2\!\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\!4/9\!&\!1/3\!\\ \!2/9\!&\!2/3\!\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}\!6\!\!&\!-9/2\!\\\!-2\!\!&\!9/2\!\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\!4/9\!&\!1/3\!\\\!2/9\!&\!2/3\!\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}\!5/3\!&\!-1\!\\\!1/9\!&\!7/3\!\end{pmatrix} \\
\end{align}
が得られます。
また、
$$\boldsymbol{x}=\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}$$
が与えられており\(\boldsymbol{y}’\)を求める場合、①→③→④の順に計算し、
\begin{align}
\boldsymbol{x}’&=P^{-1}\boldsymbol{x}\\
&=\begin{pmatrix}3&-3/2\\-1&2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}\\ \\
\boldsymbol{y}’&=A’\boldsymbol{x}’\\
&=\begin{pmatrix}5/3&-1\\1/9&7/3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}3\\5\end{pmatrix}\\
\end{align}
より求められます。これは①→②→④より、
\begin{align}
\boldsymbol{y}&=A\boldsymbol{x}\\
&=\begin{pmatrix}2&-1/2\\0&2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}\\ \\
\boldsymbol{y}’&=P^{-1}\boldsymbol{y}\\
&=\begin{pmatrix}3&-3/2\\-1&2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}3\\5\end{pmatrix}\\
\end{align}
としても同じ結果になります。